Utilizando as propriedades da transformada de Fourier, determine a resposta ao impulso h(t) correspondente a carda uma das respostas em frequencia abaixo.
Sendo que:
h(t)=e^{-1} u(t) e conseqüentemente a transformada de Fourier de h(t) suja dada por: H(j w)=\frac{1}{j w+1}.
(b) Determine \mathrm{h}_{2}(\mathrm{t}) dado que H_{2}(j w)=\frac{j w}{j w+1}

Passo 1

Vamos resumir o que foi dado e o que se pede. O enunciado diz que
– a resposta ao impulso
h(t)=e^{-t}\,u(t)
tem transformada de Fourier
H(j\omega)=\frac{1}{j\omega+1}.
Agora, para a parte (b), queremos encontrar a resposta ao impulso h_2(t) cuja função de transferência é
H_2(j\omega)=\frac{j\omega}{j\omega+1}.
O conteúdo-chave aqui é usar a propriedade da transformada de Fourier que relaciona multiplicação por j\omega no domínio da frequência com derivação no tempo.

Passo 2

Observe que
H_2(j\omega)=\frac{j\omega}{j\omega+1} = j\omega \,\frac{1}{j\omega+1} = j\omega\,H(j\omega).
Ou seja, H_2(j\omega) é simplesmente j\omega vezes H(j\omega).

Passo 3

Pela propriedade de transformada de Fourier, temos
\mathcal{F}\Bigl\{\frac{d}{dt}x(t)\Bigr\}(j\omega) = j\omega\,X(j\omega).
Comparando com o passo anterior, vemos que
H_2(j\omega) = j\omega\,H(j\omega)
implica
h_2(t) = \frac{d}{dt}\,h(t).

Passo 4

Agora basta derivar
h(t)=e^{-t}\,u(t)
usando a regra do produto e sabendo que \frac{d}{dt}u(t)=\delta(t). Assim,
\frac{d}{dt}\bigl[e^{-t}u(t)\bigr] = \underbrace{\frac{d}{dt}e^{-t}}_{-e^{-t}}\,u(t) + e^{-t}\,\underbrace{\frac{d}{dt}u(t)}_{\delta(t)} = -e^{-t}\,u(t) + e^{-t}\,\delta(t).
Como e^{-t}\delta(t)=\delta(t) (pois avalia e^{-t} em t=0), resulta

Passo 5

h_2(t) = \delta(t) - e^{-t}\,u(t).

Resposta

h_2(t) = \delta(t) \;-\; e^{-t}\,u(t).

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