Um sistema com retroação unitária negativa possui um processo
- Determine a função de transferência de malha fechada.
- Encontre a resposta no domínio do tempo para uma entrada em degrau com amplitude A.
- Determine a ultrapassagem da resposta.
- Determine o valor de estado estacionário da saída do sistema.
Passo 1
O enunciado dá um processo em malha aberta
e pede quatro coisas:
- A função de transferência de malha fechada (com retroação unitária negativa).
- A resposta no domínio do tempo para uma entrada degrau de amplitude
. - A ultrapassagem (percentual de overshoot) da resposta.
- O valor de estado estacionário da saída para esse degrau.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que usaremos:
- A realimentação é unitária e negativa (logo a malha fechada é
). - A entrada é um degrau de amplitude
, cuja transformada de Laplace é . - O processo
tem grau do denominador igual a 2 (pólos no zero e em ) e um zero em .
Passo 2
Calcular a função de transferência de malha fechada.
Aplicamos a fórmula da realimentação unitária negativa:
Aplicamos a fórmula da realimentação unitária negativa:
Primeiro escrevemos
com denominador comum
:
Agora fazemos a divisão
; como os denominadores
se cancelam,
Portanto a função de transferência de malha fechada é
Passo 3
Preparar a resposta ao degrau: a transformada da saída é
. Substituindo
,
Para inverter a transformada usaremos frações parciais do tipo
e vamos determinar
igualando numeradores.
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Expandindo o lado direito:
Agrupando potências de
:
Igualando coeficientes de cada potência de
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Termo independente:
→ .
Com
temos
. E
.
Logo a decomposição é
Passo 4
Fazer a inversa de Laplace do segundo termo. Primeiro note que o denominador quadrático pode ser completado o quadrado:
Escrevemos a fração com numerador em termos de
:
porque
.
Usamos transformadas padrões:
-
(degrau). -
. -
.
Para a última fração com numerador 1, escrevemos
e assim a inversa é
.
Agora aplicamos as inversas aos termos encontrados. Lembrando o fator multiplicativo
,
Isso é a resposta ao degrau de amplitude
. Em forma compacta:
Passo 5
Determinar a ultrapassagem (percentual de overshoot).
Primeiro extraímos os parâmetros naturais do polinômio característico , comparando com a forma canônica
Primeiro extraímos os parâmetros naturais do polinômio característico
Assim,
Para um sistema subamortecido (
), a fórmula do ultrapassagem percentual
é
Calculando:
Portanto a ultrapassagem é aproximadamente
. Observação: usamos os polos (denominador) para obter
e
; o zero em
não altera o valor final de estado (ganho DC) e os polos determinam a forma principal do transiente que dita o overshoot.
Passo 6
Determinar o valor de estado estacionário da saída.
Como a entrada é um degrau de amplitude , o valor em regime permanente é dado pelo ganho em DC de
vezes
:
Como a entrada é um degrau de amplitude
Logo o valor em estado estacionário é
Também poderia-se aplicar o teorema do valor final: