Um sistema com retroação unitária negativa possui um processo
G(s)=\frac{2(s+8)}{s(s+4)}
  • Determine a função de transferência de malha fechada.
  • Encontre a resposta no domínio do tempo para uma entrada em degrau com amplitude A.
  • Determine a ultrapassagem da resposta.
  • Determine o valor de estado estacionário da saída do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um processo em malha aberta
G(s)=\frac{2(s+8)}{s(s+4)}
e pede quatro coisas:
  1. A função de transferência de malha fechada (com retroação unitária negativa).
  2. A resposta no domínio do tempo para uma entrada degrau de amplitude A.
  3. A ultrapassagem (percentual de overshoot) da resposta.
  4. O valor de estado estacionário da saída para esse degrau.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que usaremos:
  • A realimentação é unitária e negativa (logo a malha fechada é T(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}).
  • A entrada é um degrau de amplitude A, cuja transformada de Laplace é \dfrac{A}{s}.
  • O processo G(s) tem grau do denominador igual a 2 (pólos no zero e em -4) e um zero em -8.

Passo 2

Calcular a função de transferência de malha fechada.
Aplicamos a fórmula da realimentação unitária negativa:
T(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}.
Primeiro escrevemos 1+G(s) com denominador comum s(s+4):
1+G(s)=\frac{s(s+4)}{s(s+4)}+\frac{2(s+8)}{s(s+4)} =\frac{s^2+4s+2s+16}{s(s+4)}=\frac{s^2+6s+16}{s(s+4)}.
Agora fazemos a divisão G/(1+G); como os denominadores s(s+4) se cancelam,
T(s)=\frac{2(s+8)}{s^2+6s+16}.
Portanto a função de transferência de malha fechada é
\boxed{T(s)=\frac{2(s+8)}{s^2+6s+16}.}

Passo 3

Preparar a resposta ao degrau: a transformada da saída é Y(s)=T(s)\cdot \dfrac{A}{s}. Substituindo T(s),
Y(s)=\frac{2A\,(s+8)}{s\bigl(s^2+6s+16\bigr)}.
Para inverter a transformada usaremos frações parciais do tipo
\frac{2A(s+8)}{s(s^2+6s+16)}=\frac{C}{s}+\frac{Ds+E}{s^2+6s+16},
e vamos determinar C,D,E igualando numeradores.
Multiplicando ambos os lados por s(s^2+6s+16) obtemos
2A(s+8)=C(s^2+6s+16)+(Ds+E)s.
Expandindo o lado direito:
2A(s+8)=C s^2+6C s+16C + D s^2 + E s.
Agrupando potências de s:
2A s + 16A = (C+D)s^2 + (6C+E)s + 16C.
Igualando coeficientes de cada potência de s:
  • Coeficiente de s^2: C+D=0.
  • Coeficiente de s: 6C+E=2A.
  • Termo independente: 16C=16A C=A.
Com C=A temos D=-C=-A. E E=2A-6C=2A-6A=-4A.
Logo a decomposição é
\frac{2A(s+8)}{s(s^2+6s+16)}=\frac{A}{s}+\frac{-A s -4A}{s^2+6s+16} = A\left(\frac{1}{s}-\frac{s+4}{s^2+6s+16}\right).

Passo 4

Fazer a inversa de Laplace do segundo termo. Primeiro note que o denominador quadrático pode ser completado o quadrado:
s^2+6s+16=(s+3)^2+7.
Escrevemos a fração com numerador em termos de s+3:
-\frac{A(s+4)}{s^2+6s+16} = -A\cdot\frac{s+3}{(s+3)^2+7} - A\cdot\frac{1}{(s+3)^2+7},
porque -(s+4)=-(s+3)-1.
Usamos transformadas padrões:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1 (degrau).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{s+a}{(s+a)^2+b^2}\right\}=e^{-a t}\cos(bt).
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{b}{(s+a)^2+b^2}\right\}=e^{-a t}\sin(bt).
    Para a última fração com numerador 1, escrevemos
\frac{1}{(s+3)^2+7}=\frac{1}{\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{7}}{(s+3)^2+(\sqrt{7})^2}
e assim a inversa é \dfrac{1}{\sqrt{7}}e^{-3t}\sin(\sqrt{7}\,t).
Agora aplicamos as inversas aos termos encontrados. Lembrando o fator multiplicativo A,
y(t)=A\left[1 - e^{-3t}\cos(\sqrt{7}\,t) - \frac{1}{\sqrt{7}}\,e^{-3t}\sin(\sqrt{7}\,t)\right]u(t).
Isso é a resposta ao degrau de amplitude A. Em forma compacta:
\boxed{y(t)=A\left[1 - e^{-3t}\Bigl(\cos(\sqrt{7}\,t)+\frac{1}{\sqrt{7}}\sin(\sqrt{7}\,t)\Bigr)\right]u(t).}

Passo 5

Determinar a ultrapassagem (percentual de overshoot).
Primeiro extraímos os parâmetros naturais do polinômio característico s^2+6s+16, comparando com a forma canônica
s^2+2\zeta\omega_n s + \omega_n^2.
Assim,
\omega_n^2=16\Rightarrow \omega_n=4, \qquad 2\zeta\omega_n=6\Rightarrow \zeta=\frac{6}{2\cdot 4}=\frac{6}{8}=0,75.
Para um sistema subamortecido ( \zeta<1), a fórmula do ultrapassagem percentual M_p é
M_p=\exp\!\left(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)\times 100\%.
Calculando:
\sqrt{1-\zeta^2}=\sqrt{1-0,75^2}=\sqrt{1-0,5625}=\sqrt{0,4375}\approx 0,6614,
\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{0,75\pi}{0,6614}\approx 3,563,
M_p=e^{-3,563}\times 100\%\approx 2,84\%.
Portanto a ultrapassagem é aproximadamente 2,84\%. Observação: usamos os polos (denominador) para obter \zeta e \omega_n; o zero em -8 não altera o valor final de estado (ganho DC) e os polos determinam a forma principal do transiente que dita o overshoot.

Passo 6

Determinar o valor de estado estacionário da saída.
Como a entrada é um degrau de amplitude A, o valor em regime permanente é dado pelo ganho em DC de T(s) vezes A:
T(0)=\frac{2(0+8)}{0^2+6\cdot 0+16}=\frac{16}{16}=1.
Logo o valor em estado estacionário é
y(\infty)=T(0)\cdot A = 1\cdot A = A.
Também poderia-se aplicar o teorema do valor final:
y(\infty)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to 0}s\cdot\frac{2A(s+8)}{s(s^2+6s+16)}=A.

Resposta

\displaystyle T(s)=\frac{2(s+8)}{s^2+6s+16}
\displaystyle y(t)=A\left[1 - e^{-3t}\Bigl(\cos(\sqrt{7}\,t)+\frac{1}{\sqrt{7}}\sin(\sqrt{7}\,t)\Bigr)\right]u(t)
\displaystyle M_p\approx 2,84\%
\displaystyle y(\infty)=A

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