Considerando que δ(x,y) seja a densidade de massa, medida em unidades de massa por unidade de área, então a massa total do objeto delimitado por uma região plana D pode ser calculada por meio da integral dupla da função densidade de massa sobre a região que define a placa: O primeiro momento com relação a “x” é definido como a integral: Analogamente, o primeiro momento sobre o plano “y” é a integral: O centro de massa é encontrado a partir dos primeiros momentos. Assim, a coordenada x do centro de massa é dada por: E, analogamente, a coordenada y do centro de massa é dada por: Sabendo disso, considere uma lâmina quadrada, de densidade δ(x,y)=(-2x+3y) kg/m2 cujos lados são unitários. Neste sentido, encontre o seu centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina quadrada com densidade de massa dada por
kg/m². Nosso objetivo é encontrar o centro de massa dessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para calcular a massa total e os primeiros momentos em relação aos eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a região onde a lâmina está localizada. Como é uma lâmina quadrada com lados unitários, podemos assumir que ela está no primeiro quadrante do plano cartesiano, com
e
variando de 0 a 1. Ou seja,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa total
da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o primeiro momento em relação ao eixo
, que é dado por:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Integrando primeiro em relação a
:
Agora, integrando em relação a
:
Passo 7
De forma similar, vamos calcular o primeiro momento em relação ao eixo
:
Resolvendo a integral:
Primeiro, em
:
Agora, em
:
Passo 8
Agora que temos
kg,
kg·m e
kg·m, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa
:
Resposta
O centro de massa da lâmina está localizado no ponto
.