Considerando que δ(x,y) seja a densidade de massa, medida em unidades de massa por unidade de área, então a massa total do objeto delimitado por uma região plana D pode ser calculada por meio da integral dupla da função densidade de massa sobre a região que define a placa: O primeiro momento com relação a “x” é definido como a integral: Analogamente, o primeiro momento sobre o plano “y” é a integral: O centro de massa é encontrado a partir dos primeiros momentos. Assim, a coordenada x do centro de massa é dada por: E, analogamente, a coordenada y do centro de massa é dada por: Sabendo disso, considere uma lâmina quadrada, de densidade δ(x,y)=(-2x+3y) kg/m2 cujos lados são unitários. Neste sentido, encontre o seu centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma lâmina quadrada com densidade de massa dada por de kg/m². Nosso objetivo é encontrar o centro de massa dessa lâmina. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas para calcular a massa total e os primeiros momentos em relação aos eixos x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a região onde a lâmina está localizada. Como é uma lâmina quadrada com lados unitários, podemos assumir que ela está no primeiro quadrante do plano cartesiano, com x e y variando de 0 a 1. Ou seja, 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa total M da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região D:
M = integral duplaD de
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a x:
integral0^1 (-2x + 3y) , dx = [ -x^2 + 3y x ]0^1 = (-1 + 3y) - (0) = -1 + 3y
Agora, integramos o resultado em relação a y:
M = integral0^1 (-1 + 3y) , dy = [ -y + 32 y^2 ]0^1 = (-1 + 32) - (0) = 12 , kg

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o primeiro momento em relação ao eixo x, que é dado por:
Mx = integral duplaD x de
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Integrando primeiro em relação a x:
integral0^1 x (-2x + 3y) , dx = integral0^1 (-2x^2 + 3y x) , dx = [ -23x^3 + 32y x^2 ]0^1 = ( -23 + 32y ) - 0 = -23 + 32y
Agora, integrando em relação a y:
Mx = integral0^1 ( -23 + 32y ) , dy = [ -23y + 34y^2 ]0^1 = ( -23 + 34 ) - 0 = -23 + 34 = -812 + 912 = 112 , kg·m

Passo 7

De forma similar, vamos calcular o primeiro momento em relação ao eixo y:
My = integral duplaD y de
Resolvendo a integral:
Primeiro, em x:
integral0^1 y (-2x + 3y) , dx = y integral0^1 (-2x + 3y) , dx = y [ -x^2 + 3y x ]0^1 = y (-1 + 3y) = -y + 3y^2
Agora, em y:
My = integral0^1 (-y + 3y^2) , dy = [ -12y^2 + y^3 ]0^1 = ( -12 + 1 ) - 0 = 12 , kg·m

Passo 8

Agora que temos M = 12 kg, Mx = 112 kg·m e My = 12 kg·m, podemos encontrar as coordenadas do centro de massa (barx, bary):
barx = MxM = 11212 = 112 times 2 = 16 , m
bary = MyM = 1212 = 1 , m

Resposta

O centro de massa da lâmina está localizado no ponto ( 16 , m, , 1 , m ).

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