Considerando
, sendo
, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para
grandes e pequenos.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O problema pede para estudar a estabilidade do sistema de malha fechada com realimentação unitária, onde o controlador é simplesmente
(com
) e a planta é
O método exigido é o critério de Nyquist: a gente vai desenhar (ou analisar) o diagrama de Nyquist de
, contar quantas vezes ele envolve o ponto
e usar
para chegar em
, o número de polos de malha fechada no semi-plano direito.
O que precisamos saber/vai rolar:
O que precisamos saber/vai rolar:
- Identificar os polos de
no semiplano direito (esse é o ). - Entender como traçar o diagrama de Nyquist de
. - Ver quantas voltas (
) ele dá em torno de . - Concluir: se
, tá estável.
Passo 2
Polos de
: a gente vê que os polos vêm de
, ou seja,
. Não há polos em
, só no eixo imaginário. Num Nyquist “ideal” a gente precisa deformar o contorno para não passar exatamente em
, mas o importante é que não há polos em RHP puro. Assim,
.
Passo 3
Agora olhamos
. Separamos parte real e imaginária:
– Para
:
(ponto real positivo).
– Quando ,
e
tendem a
(denominador vai a zero positivo).
– Logo depois, para , vem
(denom. vai a zero negativo) e descemos pelo 3º quadrante até voltar a
quando
.
– Quando
– Logo depois, para
Esse “pulo” de
para
passa por um arco no infinito, e o resultado final é que o traço de Nyquist não envolve o ponto
para nenhum
.
Passo 4
Se não há volta em torno de
, temos
. Como
,
Isso significa que não há polos de malha fechada no semi-plano direito para qualquer
.
Agora, falando de “pequenos” e “grandes”
:
- Para
bem pequeno, o Nyquist começa em e faz o mesmo caminho sem envolver . - Para
bem grande, o ponto inicial fica lá em cima, mas o formato do diagrama continua igual e não envolve .
Resposta
O sistema em malha fechada é estável para todo
, tanto para
pequeno quanto para
grande.