Considerando C(s)=K, sendo K>0, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para K grandes e pequenos.
G(s)=s+2s^2+16

Passo 1

Beleza, vamos lá. O problema pede para estudar a estabilidade do sistema de malha fechada com realimentação unitária, onde o controlador é simplesmente G(s)=s+2s^2+16, (com N = Z - P ) e a planta é
O método exigido é o critério de Nyquist: a gente vai desenhar (ou analisar) o diagrama de Nyquist de , contar quantas vezes ele envolve o ponto e usar
para chegar em , o número de polos de malha fechada no semi-plano direito.
O que precisamos saber/vai rolar:
  • Identificar os polos de no semiplano direito (esse é o ).
  • Entender como traçar o diagrama de Nyquist de .
  • Ver quantas voltas ( ) ele dá em torno de .
  • Concluir: se , tá estável.

Passo 2

Polos de : a gente vê que os polos vêm de , ou seja, . Não há polos em , só no eixo imaginário. Num Nyquist “ideal” a gente precisa deformar o contorno para não passar exatamente em , mas o importante é que não há polos em RHP puro. Assim, .

Passo 3

Agora olhamos ReL(jomega) = 2K16-omega^2, ImL(jomega) = K,omega16-omega^2 . Separamos parte real e imaginária:
– Para : (ponto real positivo).
– Quando , e tendem a (denominador vai a zero positivo).
– Logo depois, para , vem (denom. vai a zero negativo) e descemos pelo 3º quadrante até voltar a quando .
Esse “pulo” de para passa por um arco no infinito, e o resultado final é que o traço de Nyquist não envolve o ponto para nenhum .

Passo 4

Se não há volta em torno de Z = N + P = 0 + 0 = 0 , temos . Como ,
Isso significa que não há polos de malha fechada no semi-plano direito para qualquer .
Agora, falando de “pequenos” e “grandes” :
  • Para bem pequeno, o Nyquist começa em e faz o mesmo caminho sem envolver .
  • Para bem grande, o ponto inicial fica lá em cima, mas o formato do diagrama continua igual e não envolve .

Resposta

O sistema em malha fechada é estável para todo , tanto para pequeno quanto para grande.

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