Considerando C(s)=K, sendo K>0, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para K grandes e pequenos.
G(s)=s-5s(s+2)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos um controlador G(s)=s-5s(s+2) (com ) em malha fechada e realimentação unitária, e a função de planta
O objetivo é estudar a estabilidade do laço fechado pelo critério de Nyquist, avaliando o que rola para muito pequeno e muito grande.
Conteúdo: critério de Nyquist de estabilidade em controle.
O que vamos precisar:
• Saber identificar polos e zeros de .
• Entender o contorno de Nyquist (e o desvio num polo em ).
• Calcular o cruzamento no eixo real do diagrama de Nyquist de .
• Contar quantas voltas (encirclements) o mapeamento dá em torno do ponto .

Passo 2

Primeiro, o critério de Nyquist manda a gente traçar o contorno no plano Z ;=; N + P, que envolve o semiplano direito (incluindo pequenos desvios nos polos sobre o eixo imaginário) e ver como a função “mapeia” esse contorno no plano .
Depois contamos , o número de voltas que o diagrama de Nyquist faz ao redor do ponto . Como temos realimentação unitária, o ponto crítico é (no nosso caso, no diagrama de puro).
A fórmula básica é
onde
= número de polos de no semiplano direito (RHP),
= número de encirclements de feitos pelo diagrama de (incluindo armações dos desvios).
Para estabilidade em malha fechada a gente quer (nenhum pólo de malha fechada no RHP).

Passo 3

Identificando em P = 0 :
• Polos em e .
• Zero em .
Note que não temos polos no RHP, logo

Passo 4

Vamos achar onde G(jomega)=jomega -5jomega,(jomega+2) cruza o eixo real (parte imaginária zero):
-omega^2 +10 = 0 Longrightarrow omega = raiz10
Separamos em parte real e imaginária (valendo multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denom.):
– Imaginária de Re[G(jraiz10)] = 7omega^2omega^2(omega^2+4) = 7omega^2+4 = 710+4 = tfrac12 se anula quando
– Nesse , a parte real fica
Então o diagrama de Nyquist de (para ) sai em infinito imaginário aquém de 0, chega a cruzar no ponto real em e depois vai para 0 vindo da metade negativa do eixo imaginário.

Passo 5

Mas atenção: como N = 1 tem pólo em , a gente faz um pequeno semicírculo à direita do polo na origem no contorno de Nyquist.
Esse semicírculo infinitesimal em se mapeia num grande arco em -plano que contorna todo o resto do diagrama, resultando efetivamente em uma volta ao redor do ponto .
Ou seja, se olharmos o contorno completo (e não só o traçado jω), o diagrama de Nyquist de nos dá
encirclement de .

Passo 6

Aplicando
Z ;=; N + P = 1 + 0 = 1
Isso significa que há sempre um pólo de malha fechada no semiplano direito, ou seja, o sistema fica instável para qualquer .

Resposta

O sistema em malha fechada é instável para todo .
• Se , a equação característica vira , aparecendo pólo em (marginalmente estável), mas qualquer desloca esse pólo para a direita.
• Se é muito grande, um pólo vai para algo próximo de (bem instável) e o outro vai para o lado esquerdo.
Em resumo: não existe faixa de que deixe o sistema estável.

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