Considerando
, sendo
, estude a estabilidade em malha fechada com realimentação unitária das funções de transferência mostradas abaixo utilizando o critério de Nyquist. Faça a análise para
grandes e pequenos.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: temos um controlador
(com
) em malha fechada e realimentação unitária, e a função de planta
O objetivo é estudar a estabilidade do laço fechado pelo critério de Nyquist, avaliando o que rola para
muito pequeno e
muito grande.
Conteúdo: critério de Nyquist de estabilidade em controle.
O que vamos precisar:
• Saber identificar polos e zeros de .
• Entender o contorno de Nyquist (e o desvio num polo em ).
• Calcular o cruzamento no eixo real do diagrama de Nyquist de .
• Contar quantas voltas (encirclements) o mapeamento dá em torno do ponto .
O que vamos precisar:
• Saber identificar polos e zeros de
• Entender o contorno de Nyquist (e o desvio num polo em
• Calcular o cruzamento no eixo real do diagrama de Nyquist de
• Contar quantas voltas (encirclements) o mapeamento dá em torno do ponto
Passo 2
Primeiro, o critério de Nyquist manda a gente traçar o contorno no plano
que envolve o semiplano direito (incluindo pequenos desvios nos polos sobre o eixo imaginário) e ver como a função
“mapeia” esse contorno no plano
.
Depois contamos , o número de voltas que o diagrama de Nyquist faz ao redor do ponto
. Como temos realimentação unitária, o ponto crítico é
(no nosso caso,
no diagrama de
puro).
A fórmula básica é
Depois contamos
A fórmula básica é
onde
• = número de polos de
no semiplano direito (RHP),
• = número de encirclements de
feitos pelo diagrama de
(incluindo armações dos desvios).
Para estabilidade em malha fechada a gente quer (nenhum pólo de malha fechada no RHP).
•
•
Para estabilidade em malha fechada a gente quer
Passo 3
Identificando em
:
• Polos em e
.
• Zero em .
Note que não temos polos no RHP, logo
• Polos em
• Zero em
Note que não temos polos no RHP, logo
Passo 4
Vamos achar onde
cruza o eixo real (parte imaginária zero):
Separamos em parte real e imaginária (valendo multiplicar numerador e denominador pela conjugada do denom.):
– Imaginária de
se anula quando
– Nesse
, a parte real fica
Então o diagrama de Nyquist de
(para
) sai em infinito imaginário aquém de 0, chega a cruzar no ponto real
em
e depois vai para 0 vindo da metade negativa do eixo imaginário.
Passo 5
Mas atenção: como
tem pólo em
, a gente faz um pequeno semicírculo à direita do polo na origem no contorno de Nyquist.
Esse semicírculo infinitesimal em se mapeia num grande arco em
-plano que contorna todo o resto do diagrama, resultando efetivamente em uma volta ao redor do ponto
.
Ou seja, se olharmos o contorno completo (e não só o traçado jω), o diagrama de Nyquist de nos dá
Esse semicírculo infinitesimal em
Ou seja, se olharmos o contorno completo (e não só o traçado jω), o diagrama de Nyquist de
encirclement de
.
Passo 6
Aplicando
Isso significa que há sempre um pólo de malha fechada no semiplano direito, ou seja, o sistema fica instável para qualquer
.
Resposta
O sistema em malha fechada é instável para todo
.
• Se , a equação característica vira
, aparecendo pólo em
(marginalmente estável), mas qualquer
desloca esse pólo para a direita.
• Se é muito grande, um pólo vai para algo próximo de
(bem instável) e o outro vai para o lado esquerdo.
Em resumo: não existe faixa de que deixe o sistema estável.
• Se
• Se
Em resumo: não existe faixa de