Considerando a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2} 2^{n}}{(2 n)!}. Determine a alternativa correta:
Escolha uma opção:
A série é divergente pelo Teste da Divergência, pois o termo geral não tende a zero.
Nenhuma das demais alternativas
A série é divergente pelo Teste da Série Alternada, já que os termos não alternam em sinal.
A série é convergente pelo Teste da Raiz, pois o limite é igual a 1, sendo inconclusivo.
A série é convergente pelo Teste da Comparação com a série geométrica \sum\left(\frac{1}{2}\right)^{n}, pois seus termos são menores para todo n \geq 1.
A série é condicionalmente convergente pelo Teste da Série Alternada, com soma aproximada de 3.000 .
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
aplicando testes de convergência (teste da divergência, razão, raiz, comparação, alternada etc.).
Passo 2
Verificamos primeiro o termo geral para o teste da divergência:
a_n = \frac{(n!)^{2}\,2^{n}}{(2n)!}.
Usando a estimativa de Stirling ou comparando diretamente com crescimento fatorial, vemos que a_n\to0 quando n\to\infty. Logo, o teste da divergência é inconclusivo.
ou seja, a_n não é menor que (1/2)^n para todo n. Portanto, essa alternativa está incorreta.
Passo 6
Não há alternância de sinais em a_n>0, logo não faz sentido falar em convergência condicional nem teste da série alternada. A série converge absolutamente pelo teste da razão (ou da raiz).