Considerando a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2} 2^{n}}{(2 n)!}. Determine a alternativa correta:
Escolha uma opção:
A série é divergente pelo Teste da Divergência, pois o termo geral não tende a zero.
Nenhuma das demais alternativas
A série é divergente pelo Teste da Série Alternada, já que os termos não alternam em sinal.
A série é convergente pelo Teste da Raiz, pois o limite é igual a 1, sendo inconclusivo.
A série é convergente pelo Teste da Comparação com a série geométrica \sum\left(\frac{1}{2}\right)^{n}, pois seus termos são menores para todo n \geq 1.
A série é condicionalmente convergente pelo Teste da Série Alternada, com soma aproximada de 3.000 .

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}\,2^{n}}{(2n)!}\!,
aplicando testes de convergência (teste da divergência, razão, raiz, comparação, alternada etc.).

Passo 2

Verificamos primeiro o termo geral para o teste da divergência:
a_n = \frac{(n!)^{2}\,2^{n}}{(2n)!}.
Usando a estimativa de Stirling ou comparando diretamente com crescimento fatorial, vemos que a_n\to0 quando n\to\infty. Logo, o teste da divergência é inconclusivo.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}2^{\,n+1}/(2n+2)!}{(n!)^{2}2^{n}/(2n)!} = \frac{2(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{n+1}{2n+1} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\frac12.
Como este limite é menor que 1, concluímos que a série converge absolutamente.

Passo 4

Opcionalmente, pelo teste da raiz,
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt{\pi n}\,\bigl(\tfrac12\bigr)^{n}} =\tfrac12<1,
confirmando convergência.

Passo 5

A comparação direta com a série geométrica \sum(1/2)^n falha porque
a_n\sim \sqrt{\pi n}\,\bigl(\tfrac12\bigr)^n >\bigl(\tfrac12\bigr)^n \quad(n\ge1),
ou seja, a_n não é menor que (1/2)^n para todo n. Portanto, essa alternativa está incorreta.

Passo 6

Não há alternância de sinais em a_n>0, logo não faz sentido falar em convergência condicional nem teste da série alternada. A série converge absolutamente pelo teste da razão (ou da raiz).

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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