Sabendo que a função y=\tan (x) é crescente em \left(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), sem calcular a integral, estime
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan (x) d x

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa para
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x)\,\mathrm{d}x
sabendo que \tan(x) é crescente em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
O conteúdo usado será a desigualdade para integrais de funções crescentes: se f é crescente em [a,b], então
f(a)\,(b-a)\;\le\;\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\;\le\;f(b)\,(b-a).

Passo 2

Identificamos a=-\tfrac{\pi}{4} e b=\tfrac{\pi}{3}. Como \tan(x) é crescente neste intervalo, valem as desigualdades
\tan\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)\;(b-a)\;\le\;\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\tan(x)\,\mathrm{d}x\;\le\;\tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;(b-a).

Passo 3

Calculamos a largura do intervalo:
b-a \;=\;\frac{\pi}{3}-\Bigl(-\frac{\pi}{4}\Bigr) \;=\;\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} \;=\;\frac{4\pi+3\pi}{12} \;=\;\frac{7\pi}{12}.

Passo 4

Calculamos os valores nas extremidades:
\tan\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)=-1, \qquad \tan\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\sqrt{3}.
Logo as cotas ficam
-1\;\times\;\frac{7\pi}{12} \;\le\; \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\tan(x)\,\mathrm{d}x \;\le\; \sqrt{3}\;\times\;\frac{7\pi}{12}.

Resposta

-\frac{7\pi}{12}\;\le\;\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\tan(x)\,\mathrm{d}x \;\le\;\frac{7\pi\sqrt{3}}{12}.

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