Suponha que um bloco seja colocado em uma superfície áspera inclinada em relação ao plano horizontal. O ângulo do plano inclinado é aumentado até que o bloco comece a se mover. Mostre que você pode obter \mu_{s} medindo o ângulo crítico \theta_{c} em que esse deslizamento ocorre.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o coeficiente de atrito estático \mu_s de um bloco em um plano inclinado, medindo o ângulo crítico \theta_c em que o bloco passa do repouso para o deslizamento. O conteúdo envolvido é dinâmica estática e equilíbrio de forças com atrito.

Passo 2

Vamos desenhar o diagrama de corpo-livre e escolher eixos:
– Eixo x paralelo ao plano inclinado (para baixo, sentido do possível deslizamento).
– Eixo y perpendicular ao plano.
As forças são:
  1. O peso \vec P = m g agindo vertical para baixo.
  2. A normal \vec N perpendicular ao plano.
  3. A força de atrito estático \vec F_{a}, que aponta para cima ao longo do plano, contrapondo o escorregamento.

Passo 3

Projetar o peso nos eixos escolhidos:
P_{x} = m g \,\sin(\theta),\qquad P_{y} = m g \,\cos(\theta).

Passo 4

No instante crítico \theta=\theta_c, o bloco está prestes a escorregar; então usamos:
  1. Equilíbrio no eixo y:
N - P_{y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad N = m g \cos(\theta_c).
  1. Equilíbrio (limite) no eixo x: a componente P_x é exatamente equilibrada pela força máxima de atrito estático F_{a,\max}=\mu_s\,N:
P_{x} - F_{a,\max} = 0 \quad\Longrightarrow\quad m g \sin(\theta_c) = \mu_s\,N.

Passo 5

Substituindo N=m g\cos(\theta_c) na equação do atrito, obtemos
m g \sin(\theta_c) = \mu_s \bigl(m g \cos(\theta_c)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \mu_s = \frac{\sin(\theta_c)}{\cos(\theta_c)} = \tan(\theta_c).

Resposta

\mu_s = \tan(\theta_c).

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