Considerando a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{(2 n+3)(n-5)}. Determine a alternativa correta:
Escolha uma opção:
A série é divergente, pois o Teste da Divergência indica que o termo geral não tende a zero (o limite é \pi / 13 ).
Nenhuma das demais alternativas
A série é convergente pelo Teste da Raiz, pois o limite \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\pi}{(2 n+3)(n-5)}}=0<1.
A série é convergente pelo Teste da Integral, visto que a integral \int_{0.5}^{\infty} \frac{\pi}{(2 x+3)(x-5)} d x converge para um valor aproximado de
A série é convergente pelo Teste da Razão, já que \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{(2(n+1)+3)(n+1-5)} \cdot \frac{(2 n+3)(n-5)}{\pi}=\frac{1}{2}<1
A série é convergente pelo Teste da Comparação, já que para n \geq 6, \frac{\pi}{(2 n+3)(n-5)} \leq \frac{\pi}{n^{2}}, e a série \sum \frac{1}{n^{2}} é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\pi}{(2n+3)(n-5)}
e pede para escolher a alternativa correta sobre convergência ou divergência. O conteúdo envolve testes de convergência: Teste da Divergência, Teste da Raiz, Teste da Razão, Teste da Integral e Teste da Comparação.

Passo 2

Aplicando o Teste da Divergência, calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{(2n+3)(n-5)} =\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{2n^2-7n-15} =0.
Como o termo geral tende a zero, o teste é inconclusivo (não prova divergência). Logo, a alternativa “divergente pois \lim a_n\neq0” está errada.

Passo 3

Teste da Raiz:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{\pi}{(2n+3)(n-5)}} =\frac{\sqrt[n]{\pi}}{\sqrt[n]{2n^2-7n-15}} =1,
inconclusivo. Portanto, a alternativa que diz “limite =0<1” também está errada.

Passo 4

Teste da Razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\pi/[(2n+5)(n-4)]}{\pi/[(2n+3)(n-5)]} =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+3)(n-5)}{(2n+5)(n-4)} =1,
inconclusivo. A alternativa que afirma “limite =1/2” está incorreta.

Passo 5

Teste da Comparação (p-série): para n grande,
(2n+3)(n-5)=2n^2-7n-15\sim2n^2,
então existe N tal que, para n\ge N,
0<\frac{\pi}{(2n+3)(n-5)}\le\frac{\pi}{n^2}.
Como \sum\pi/n^2 é convergente p=2>1, segue que nossa série também converge.
Nenhuma das alternativas dadas reproduz corretamente esse argumento (a própria comparação correta exige cuidadosa escolha de N).

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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