149 Um carro percorre a quarta parte de uma pista horizontal e circular de raio 100 m , em 10 s . Determine, nesse intervalo de tempo, os módulos:
a) da variação do espaço;
b) do vetor deslocamento;
c) da velocidade escalar média;
d) da velocidade vetorial média.

Passo 1

O enunciado diz que um carro percorre um quarto de volta numa pista circular horizontal de raio 100 m em 10 s. Precisamos de:
– a distância percorrida (variação do espaço);
– o módulo do vetor deslocamento;
– a velocidade escalar média;
– a velocidade vetorial média.

Passo 2

Para achar a distância percorrida usamos a fórmula do comprimento de arco
s = r\,\theta,
onde \theta é o ângulo em radianos. Como percorre um quarto de volta,
\theta = \frac{1}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}\\ \text{rad},
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s = 100 \times \frac{\pi}{2} = 50\pi\\ \text{m}.

Passo 3

O deslocamento é o segmento de reta que une ponto inicial ao ponto final, formando um arco de 90^\circ. Seu módulo (comprimento do corda) é
\Delta r = 2r\sin\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr) = 2\cdot 100 \sin\bigl(45^\circ\bigr) = 200\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}\\ \text{m}.

Passo 4

A velocidade escalar média é a distância total dividida pelo tempo:
v_{\text{m}} = \frac{s}{\Delta t} = \frac{50\pi}{10} = 5\pi\\ \text{m/s}.

Passo 5

A velocidade vetorial média é o deslocamento vetorial dividido pelo tempo. Como queremos o módulo,
\|\bar v\| = \frac{\Delta r}{\Delta t} = \frac{100\sqrt{2}}{10} = 10\sqrt{2}\\ \text{m/s}.

Resposta

a) 50\pi,m
b) 100\sqrt{2},m
c) 5\pi,m/s
d) 10\sqrt{2},m/s

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