Considerando a simulação de colisão entre um carro de 1000 kg e um carro de 750 kg , ambos a 64,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h} cada, calcule e determine a velocidade de recuo de cada um dos carros, sabendo que a energia dissipada na colisão foi de 90 \% da energia cinética inicial de cada um dos carros.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede a velocidade de recuo de cada carro:
  • Massa do primeiro carro: m_1 = 1000\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do segundo carro: m_2 = 750\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial de cada carro: 64{,}8\\ \mathrm{km/h} (cada um, em sentidos opostos — supondo colisão frontal).
  • Fração da energia cinética dissipada na colisão: 90\% da energia cinética inicial do sistema (vou interpretar isso como: 90\% da energia cinética total inicial do par de carros é dissipada), logo resta 10\% da energia cinética total inicial após a colisão.
  • Pergunta: determinar as velocidades de recuo (velocidades finais) de cada carro após a colisão, com indicação de sentido (uso sinal: positivo na direção do movimento inicial do carro de m_1).

Passo 2

Por que usei as equações que vou usar (método)?
  • Em colisões isoladas (forças externas desprezíveis durante o impacto), o momento linear total do sistema é conservado: a soma dos momentos antes = soma depois. Isso vale mesmo que haja perda de energia.
  • A energia cinética total não é conservada se há dissipação; mas como sabemos a fração dissipada (90%), sabemos quanto de energia cinética total sobra após a colisão. Assim podemos usar a conservação do momento e a condição sobre a energia final para resolver as duas velocidades finais desconhecidas.
    Essas duas equações (momento e energia final conhecida) bastam para determinar as duas velocidades finais.

Passo 3

Converter a velocidade inicial para unidades SI (m/s), porque massas estão em kg e energias em joules:
64{,}8\\ \mathrm{km/h} = \frac{64{,}8}{3{,}6}\\ \mathrm{m/s} = 18\\ \mathrm{m/s}.
Então a velocidade inicial de cada carro em módulo é \;v_0 = 18\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular o momento linear total inicial. Adoto convenção: velocidade do carro m_1 é +v_0, do carro m_2 é -v_0 (colisão frontal, sentidos opostos). O momento inicial é
p_{\text{ini}} = m_1 v_0 + m_2 (-v_0) = (m_1 - m_2)\,v_0.
Substituindo os valores:
p_{\text{ini}} = (1000 - 750)\cdot 18 = 250\cdot 18 = 4500\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Esse valor deve ser igual ao momento total final.

Passo 5

Calcular a energia cinética total inicial do sistema:
E_{\text{cin,ini}} = \tfrac{1}{2}m_1 v_0^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_0^2 = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_0^2.
Substituindo:
E_{\text{cin,ini}} = \tfrac{1}{2}\,(1000+750)\cdot 18^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1750 \cdot 324 = 875\cdot 324 = 283500\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Como 90\% da energia cinética total inicial foi dissipada, sobra 10\%. Então a energia cinética total final é
E_{\text{cin,fin}} = 0{,}10 \times E_{\text{cin,ini}} = 0{,}10 \times 283500 = 28350\\ \mathrm{J}.
Na forma das equações com as velocidades finais v_{1f} e v_{2f} temos:
\tfrac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \tfrac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 = 28350.
Multiplicando por 2 para simplificar:
m_1 v_{1f}^2 + m_2 v_{2f}^2 = 56700.

Passo 7

Escrevemos agora as duas equações que vamos resolver simultaneamente:
  1. Conservação do momento:
m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} = p_{\text{ini}} = 4500.
  1. Energia cinética final conhecida:
m_1 v_{1f}^2 + m_2 v_{2f}^2 = 56700.
Temos duas incógnitas v_{1f} e v_{2f}.

Passo 8

Isolamos v_{2f} a partir da equação do momento:
v_{2f} = \frac{4500 - m_1 v_{1f}}{m_2} = \frac{4500 - 1000\,v_{1f}}{750}.
Simplificando a fração:
v_{2f} = 6 - \frac{4}{3}\,v_{1f}.

Passo 9

Substituímos v_{2f} na equação da energia (a que tem os quadrados). Começamos escrevendo:
1000\,v_{1f}^2 + 750\left(6 - \tfrac{4}{3}v_{1f}\right)^2 = 56700.
Vamos expandir o quadrado:
\left(6 - \tfrac{4}{3}v_{1f}\right)^2 = 36 - 16 v_{1f} + \tfrac{16}{9} v_{1f}^2.
Multiplicando por 750:
750\left(36 - 16 v_{1f} + \tfrac{16}{9} v_{1f}^2\right) = 27000 - 12000 v_{1f} + \tfrac{12000}{9} v_{1f}^2.
Somando o termo 1000 v_{1f}^2 obtemos a equação quadrática:
1000 v_{1f}^2 + 27000 - 12000 v_{1f} + \tfrac{12000}{9} v_{1f}^2 = 56700.

Passo 10

Colocando tudo em forma padrão e multiplicando para eliminar frações:
\left(1000 + \tfrac{12000}{9}\right)v_{1f}^2 - 12000 v_{1f} + (27000 - 56700) = 0.
Calcule 1000 + \tfrac{12000}{9} = \tfrac{9000 + 12000}{9} = \tfrac{21000}{9}. E 27000-56700 = -29700. Multiplicando ambos os lados por 9 para ficar com inteiros:
21000 v_{1f}^2 - 108000 v_{1f} - 267300 = 0.
Dividindo por 30 (ou simplificando por 3 e depois por 10) para facilitar:
70 v_{1f}^2 - 360 v_{1f} - 891 = 0.

Passo 11

Resolver a equação quadrática
70 v_{1f}^2 - 360 v_{1f} - 891 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
v_{1f} = \frac{360 \pm \sqrt{360^2 - 4\cdot 70 \cdot (-891)}}{2\cdot 70}.
Calcule o discriminante:
\Delta = 360^2 + 4\cdot 70 \cdot 891 = 129600 + 249480 = 379080.
\sqrt{\Delta} \approx 615{,}694.
Logo as soluções são
v_{1f} = \frac{360 \pm 615{,}694}{140}.
Isso dá duas raízes numéricas:
v_{1f}^{(1)} \approx \frac{975{,}694}{140} \approx 6{,}969\\ \mathrm{m/s},
v_{1f}^{(2)} \approx \frac{-255{,}694}{140} \approx -1{,}826\\ \mathrm{m/s}.

Passo 12

Interpretando as duas raízes: ambas são soluções matemáticas que satisfazem conservação de momento e energia final, mas fisicamente devemos escolher a solução que respeite continuidade do movimento e o sentido esperado após colisão. O carro de m_1=1000\\ \mathrm{kg} inicialmente tinha velocidade +18\\ \mathrm{m/s}; é mais plausível (e usual em colisões assim) que ele mantenha o sentido positivo depois do choque, isto é, uma velocidade final positiva. Assim escolhemos
v_{1f} \approx 6{,}969\\ \mathrm{m/s}.

Passo 13

Calcular v_{2f} correspondente usando a relação do passo 8:
v_{2f} = 6 - \tfrac{4}{3} v_{1f}.
Substituindo v_{1f}\approx 6{,}969:
v_{2f} \approx 6 - \tfrac{4}{3}\cdot 6{,}969 \approx 6 - 9{,}292 \approx -3{,}292\\ \mathrm{m/s}.
O sinal negativo indica que o carro m_2 (o de 750\\ \mathrm{kg}) ficou se movendo no sentido oposto ao do carro m_1 (ou seja, continuou/recuou na direção inicial que tinha — lembrando que originalmente m_2 vinha em sentido negativo, -18 m/s; após a colisão seu sinal negativo significa que ele permanece no sentido inicial dele).

Passo 14

Converter resultados para km/h para intuição adicional (multiplicar por 3{,}6):
  • Para m_1:
v_{1f} \approx 6{,}969\\ \mathrm{m/s} \times 3{,}6 \approx 25{,}09\\ \mathrm{km/h}.
  • Para m_2:
v_{2f} \approx -3{,}292\\ \mathrm{m/s} \times 3{,}6 \approx -11{,}85\\ \mathrm{km/h}.
(Nota: o sinal negativo indica sentido oposto ao definido positivo.)

Resposta

Carro de 1000\\ \mathrm{kg}: v_{1f} \approx 6{,}969\\ \mathrm{m/s} \approx 25{,}09\\ \mathrm{km/h}.
Carro de 750\\ \mathrm{kg}: v_{2f} \approx -3{,}292\\ \mathrm{m/s} \approx -11{,}85\\ \mathrm{km/h}.

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