Considerando a simulação de colisão entre um carro de 1000 kg e um carro de 750 kg , ambos a
cada, calcule e determine a velocidade de recuo de cada um dos carros, sabendo que a energia dissipada na colisão foi de
da energia cinética inicial de cada um dos carros.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede a velocidade de recuo de cada carro:
- Massa do primeiro carro:
. - Massa do segundo carro:
. - Velocidade inicial de cada carro:
(cada um, em sentidos opostos — supondo colisão frontal). - Fração da energia cinética dissipada na colisão:
da energia cinética inicial do sistema (vou interpretar isso como: da energia cinética total inicial do par de carros é dissipada), logo resta da energia cinética total inicial após a colisão. - Pergunta: determinar as velocidades de recuo (velocidades finais) de cada carro após a colisão, com indicação de sentido (uso sinal: positivo na direção do movimento inicial do carro de
).
Passo 2
Por que usei as equações que vou usar (método)?
- Em colisões isoladas (forças externas desprezíveis durante o impacto), o momento linear total do sistema é conservado: a soma dos momentos antes = soma depois. Isso vale mesmo que haja perda de energia.
- A energia cinética total não é conservada se há dissipação; mas como sabemos a fração dissipada (90%), sabemos quanto de energia cinética total sobra após a colisão. Assim podemos usar a conservação do momento e a condição sobre a energia final para resolver as duas velocidades finais desconhecidas.
Essas duas equações (momento e energia final conhecida) bastam para determinar as duas velocidades finais.
Passo 3
Converter a velocidade inicial para unidades SI (m/s), porque massas estão em kg e energias em joules:
Então a velocidade inicial de cada carro em módulo é
Passo 4
Calcular o momento linear total inicial. Adoto convenção: velocidade do carro
é
, do carro
é
(colisão frontal, sentidos opostos). O momento inicial é
Substituindo os valores:
Esse valor deve ser igual ao momento total final.
Passo 5
Calcular a energia cinética total inicial do sistema:
Substituindo:
Passo 6
Como
da energia cinética total inicial foi dissipada, sobra
. Então a energia cinética total final é
Na forma das equações com as velocidades finais
e
temos:
Multiplicando por
para simplificar:
Passo 7
Escrevemos agora as duas equações que vamos resolver simultaneamente:
- Conservação do momento:
- Energia cinética final conhecida:
Temos duas incógnitas
e
.
Passo 8
Isolamos
a partir da equação do momento:
Simplificando a fração:
Passo 9
Substituímos
na equação da energia (a que tem os quadrados). Começamos escrevendo:
Vamos expandir o quadrado:
Multiplicando por
:
Somando o termo
obtemos a equação quadrática:
Passo 10
Colocando tudo em forma padrão e multiplicando para eliminar frações:
Calcule
. E
. Multiplicando ambos os lados por
para ficar com inteiros:
Dividindo por
(ou simplificando por
e depois por
) para facilitar:
Passo 11
Resolver a equação quadrática
pela fórmula de Bhaskara:
Calcule o discriminante:
Logo as soluções são
Isso dá duas raízes numéricas:
Passo 12
Interpretando as duas raízes: ambas são soluções matemáticas que satisfazem conservação de momento e energia final, mas fisicamente devemos escolher a solução que respeite continuidade do movimento e o sentido esperado após colisão. O carro de
inicialmente tinha velocidade
; é mais plausível (e usual em colisões assim) que ele mantenha o sentido positivo depois do choque, isto é, uma velocidade final positiva. Assim escolhemos
Passo 13
Calcular
correspondente usando a relação do passo 8:
Substituindo
:
O sinal negativo indica que o carro
(o de
) ficou se movendo no sentido oposto ao do carro
(ou seja, continuou/recuou na direção inicial que tinha — lembrando que originalmente
vinha em sentido negativo, -18 m/s; após a colisão seu sinal negativo significa que ele permanece no sentido inicial dele).
Passo 14
Converter resultados para km/h para intuição adicional (multiplicar por
):
- Para
:
- Para
:
(Nota: o sinal negativo indica sentido oposto ao definido positivo.)
Resposta
Carro de
:
.
Carro de :
.
Carro de