Uma partícula move-se de forma tal que a sua posição no eixo x é dada por x(t)=2 . t^{4}+4 . t+5(\mathrm{~S} \mid). Assinale a alternativa que representa o valor da ACELERAÇÃO no instante 2 s.
A \square 64 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
B \square 68 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
c \square 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
D \square 96 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
E \square 48 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede a aceleração no instante 2\\ \text{s}.
Informações fornecidas:
x(t)=2t^{4}+4t+5
onde x está em metros e t em segundos (assumo unidades padrão). A pergunta é: qual é o valor da aceleração no instante t=2\\ \text{s}?

Passo 2

O que significa “aceleração” aqui (explicação didática): a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. A velocidade é, por sua vez, a taxa de variação da posição. Em cálculo isso significa:
v(t)=x'(t)\quad\text{e}\quad a(t)=v'(t)=x''(t).
“Derivar” uma função significa calcular sua taxa instantânea de variação. Regras básicas que vamos usar:
  • Regra do poder: a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}.
  • Regra da constante multiplicativa: a derivada de c\cdot f(t) é c\cdot f'(t).
  • A derivada de uma constante é 0.
Exemplo rápido: a derivada de 3t^{5} é 3\cdot 5t^{4}=15t^{4}.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade v(t)=x'(t) aplicando as regras termo a termo.
Derivando cada termo de x(t)=2t^{4}+4t+5:
\frac{d}{dt}\big(2t^{4}\big)=2\cdot 4t^{3}=8t^{3},
\frac{d}{dt}\big(4t\big)=4,
\frac{d}{dt}\big(5\big)=0.
Portanto,
v(t)=8t^{3}+4.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração a(t)=v'(t)=x''(t) derivando v(t).
Derivando v(t)=8t^{3}+4:
\frac{d}{dt}\big(8t^{3}\big)=8\cdot 3t^{2}=24t^{2},
\frac{d}{dt}\big(4\big)=0.
Logo,
a(t)=24t^{2}.

Passo 5

Avalie a aceleração em t=2\\ \text{s}. Primeiro calcule 2^{2}:
2^{2}=4.
Agora substitua em a(t)=24t^{2}:
a(2)=24\cdot 4=96.
A unidade de aceleração é metros por segundo ao quadrado, então o valor é 96\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

D \;96\\ \mathrm{m/s^{2}}

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