Considerando um sistema amortecido forçado, determine a sua amplitude em função de
,
e
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a amplitude do regime estacionário de um sistema amortecido forçado como função de
,
e
.
Informações que vou usar (todas padrão para esse problema, sem pedir nada a você):
- Temos um oscilador massa-mola-amortecedor com massa
, coeficiente de amortecimento e constante da mola . - Força externa senoidal aplicada:
. - Vou usar as definições usuais:
- O objetivo final é a amplitude do regime forçado (estacionário)
em função de , e . (Se for útil, apresentarei a amplitude em termos de — que é a amplitude da aceleração de excitação — e, portanto, em termos de .)
Passo 2
Escrever a equação do movimento normalizada por
. A equação com forças é
Dividindo por
usando as definições acima, obtemos a forma padrão:
onde
é a aceleração,
é a velocidade,
é o deslocamento,
é a taxa de amortecimento por unidade de massa, e
é a amplitude da excitação por unidade de massa.
Passo 3
Estratégia para achar a amplitude do regime estacionário: o transiente (solução homogênea) morre por causa do amortecimento, então o regime estacionário tem a mesma frequência da força excitadora
. Portanto procuramos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Outra forma equivalente é
, com
. Vou usar a forma com
e
porque facilita a álgebra.
Passo 4
Calcular derivadas de
e substituir na equação:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Reagrupar coeficientes de
e
. Para
:
Para
:
Escrevendo de forma mais clara:
Passo 6
Resolver o sistema linear para
e
. Da segunda equação temos
assumindo
(o caso
pode ser tratado como limite). Substituindo em a primeira equação:
Colocando em denominador comum:
Assim
E então
Passo 7
Calcular a amplitude do regime estacionário
. Usando os valores de
e
:
Tomando raiz quadrada,
Lembrando que
, este é o valor da amplitude do deslocamento no regime estacionário.
Passo 8
Interpretação rápida (útil na prova): a amplitude depende de
através do denominador. Para pequeno amortecimento (
pequeno) a amplitude tem pico próximo de
(ressonância). Se desejar a amplitude normalizada por unidade de força por massa (isto é, para
), basta colocar
na expressão acima.