Considerando um sistema amortecido forçado, determine a sua amplitude em função de \omega, \omega_{0} e \gamma.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a amplitude do regime estacionário de um sistema amortecido forçado como função de \omega, \omega_{0} e \gamma.
Informações que vou usar (todas padrão para esse problema, sem pedir nada a você):
  • Temos um oscilador massa-mola-amortecedor com massa m, coeficiente de amortecimento b e constante da mola k.
  • Força externa senoidal aplicada: F(t)=F_{0}\cos(\omega t).
  • Vou usar as definições usuais: \gamma=\frac{b}{m},\qquad \omega_{0}^{2}=\frac{k}{m},\qquad f\equiv\frac{F_{0}}{m}.
  • O objetivo final é a amplitude do regime forçado (estacionário) A(\omega) em função de \omega, \omega_{0} e \gamma. (Se for útil, apresentarei a amplitude em termos de f — que é a amplitude da aceleração de excitação — e, portanto, em termos de F_0/m.)

Passo 2

Escrever a equação do movimento normalizada por m. A equação com forças é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_{0}\cos(\omega t).
Dividindo por m usando as definições acima, obtemos a forma padrão:
\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=f\cos(\omega t),
onde \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} é a velocidade, x é o deslocamento, \gamma é a taxa de amortecimento por unidade de massa, e f=F_{0}/m é a amplitude da excitação por unidade de massa.

Passo 3

Estratégia para achar a amplitude do regime estacionário: o transiente (solução homogênea) morre por causa do amortecimento, então o regime estacionário tem a mesma frequência da força excitadora \omega. Portanto procuramos uma solução particular da forma
x_{p}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t),
onde a e b são constantes a determinar. Outra forma equivalente é x_{p}(t)=A\cos(\omega t-\varphi), com A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Vou usar a forma com a e b porque facilita a álgebra.

Passo 4

Calcular derivadas de x_{p} e substituir na equação:
\dot{x}_{p}(t)=-a\omega\sin(\omega t)+b\omega\cos(\omega t),
\ddot{x}_{p}(t)=-a\omega^{2}\cos(\omega t)-b\omega^{2}\sin(\omega t).
Substituindo em \ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=f\cos(\omega t) obtemos
(-a\omega^{2}\cos\omega t - b\omega^{2}\sin\omega t) +\gamma(-a\omega\sin\omega t + b\omega\cos\omega t) +\omega_{0}^{2}(a\cos\omega t + b\sin\omega t)=f\cos\omega t.

Passo 5

Reagrupar coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Para \cos(\omega t):
-a\omega^{2}+b\gamma\omega + a\omega_{0}^{2}=f.
Para \sin(\omega t):
-b\omega^{2}-a\gamma\omega + b\omega_{0}^{2}=0.
Escrevendo de forma mais clara:
a(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+b(\gamma\omega)=f,
b(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})-a(\gamma\omega)=0.

Passo 6

Resolver o sistema linear para a e b. Da segunda equação temos
b(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})=a(\gamma\omega)\quad\Longrightarrow\quad b=\frac{a\,\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}},
assumindo \omega_{0}^{2}\neq\omega^{2} (o caso \omega_{0}^{2}=\omega^{2} pode ser tratado como limite). Substituindo em a primeira equação:
a(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\frac{a\,\gamma\omega\cdot\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=f.
Colocando em denominador comum:
a\frac{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}=f.
Assim
a=\frac{f(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}}.
E então
b=\frac{f(\gamma\omega)}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}}.

Passo 7

Calcular a amplitude do regime estacionário A(\omega)=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Usando os valores de a e b:
a^{2}+b^{2} =\frac{f^{2}\big[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}\big]}{\big[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}\big]^{2}} =\frac{f^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}}.
Tomando raiz quadrada,
A(\omega)=\frac{f}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}}}.
Lembrando que f=F_{0}/m, este é o valor da amplitude do deslocamento no regime estacionário.

Passo 8

Interpretação rápida (útil na prova): a amplitude depende de \omega através do denominador. Para pequeno amortecimento ( \gamma pequeno) a amplitude tem pico próximo de \omega\approx\omega_{0} (ressonância). Se desejar a amplitude normalizada por unidade de força por massa (isto é, para f=1), basta colocar f=1 na expressão acima.

Resposta

A(\omega)=\frac{F_{0}/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}}}

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