Demonstre que a energia mecânica de um sistema que realiza movimento harmônico simples é E=\frac{1}{2} m A^{2} \omega^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar que a energia mecânica total de um sistema que realiza movimento harmônico simples (MHS) vale \displaystyle E=\frac{1}{2} m A^{2} \omega^{2}.
Informações dadas (ou implícitas) e o que vamos usar:
  • O sistema tem massa \(m) e realiza MHS com amplitude \(A) e pulsação (frequência angular) \(\omega).
  • Em MHS a força restauradora é proporcional à posição (força elástica típica), o que nos permite usar a constante elástica \(k) e relacioná-la com \(\omega) por \(\omega=\sqrt{k/m}).
  • O objetivo é mostrar que a soma da energia cinética e da energia potencial é igual a \displaystyle \frac{1}{2} m A^{2} \omega^{2} e que esse valor é constante no tempo.

Passo 2

Equação do movimento e solução geral — vamos deixar claro de onde tudo vem.
Para um oscilador harmônico (por exemplo, massa presa a uma mola ideal) a equação do movimento é a equação diferencial
m\ddot{x} + kx = 0,
onde \(x(t)) é a posição da massa no tempo, \(\ddot{x}) é a segunda derivada temporal de \(x), \(m) é a massa e \(k) é a constante elástica da mola.
A solução geral desta equação, que descreve um MHS, pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \(A) é a amplitude (valor máximo de |x|),
  • \(\omega) é a pulsação, definida por \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
  • \(\varphi) é a fase inicial (constante determinada pelas condições iniciais).
Expliquei cada símbolo para você não se perder — amplitude é o máximo deslocamento, pulsação é a velocidade angular das oscilações, fase desloca no tempo.

Passo 3

Derivando a posição para obter a velocidade.
A velocidade é a derivada temporal de \(x(t)). Derivando
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
usamos a regra da cadeia (derivada de \cos é -\sin e multiplicamos pela derivada interna \omega):
v(t)=\dot{x}(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Aqui \(v(t)) é a velocidade instantânea.

Passo 4

Energia cinética — fórmula e substituição.
A energia cinética de uma massa é dada por
K(t)=\frac{1}{2} m v(t)^{2}.
Substituindo a expressão de \(v(t)) obtemos
K(t)=\frac{1}{2} m \bigl(-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\bigr)^{2}.
Como o quadrado elimina o sinal negativo,
K(t)=\frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi).
Expliquei: \sin^{2} significa (\sin(\cdot))^{2}.

Passo 5

Energia potencial elástica — fórmula e substituição.
A energia potencial armazenada numa mola deformada por uma distância \(x) é
U(t)=\frac{1}{2} k x(t)^{2}.
Substituindo \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)) obtemos
U(t)=\frac{1}{2} k A^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi).

Passo 6

Relacione \(k) e \(\omega) para escrever U(t) em termos de m e \omega.
Da definição da pulsação temos
\omega^{2}=\frac{k}{m}\quad\Longrightarrow\quad k=m\omega^{2}.
Substituindo esse k em U(t),
U(t)=\frac{1}{2} (m\omega^{2}) A^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi)
ou
U(t)=\frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi).
Expliquei: fiz isso porque queremos a energia total em função de m, A e \omega.

Passo 7

Some energia cinética e potencial para obter a energia mecânica total.
A energia mecânica total é
E(t)=K(t)+U(t).
Substituindo as expressões encontradas:
E(t)=\frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}\sin^{2}(\omega t+\varphi) +\frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}\cos^{2}(\omega t+\varphi).
Fatorando \displaystyle \frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2} temos
E(t)=\frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}\bigl(\sin^{2}(\omega t+\varphi)+\cos^{2}(\omega t+\varphi)\bigr).

Passo 8

Use a identidade trigonométrica fundamental e conclua.
A identidade trigonométrica básica diz que, para qualquer argumento,
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1.
Aplicando com \displaystyle \theta=\omega t+\varphi obtemos
E(t)=\frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}\cdot 1
ou seja
E(t)=\frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}.
Isso mostra que a energia mecânica é constante no tempo (não depende de t) e vale exatamente \displaystyle \frac{1}{2} m A^{2}\omega^{2}.

Passo 9

Comentário didático rápido (idéia alternativa que você pode usar na prova).
Uma alternativa é mostrar diretamente que \dfrac{dE}{dt}=0 usando E=K+U e a equação do movimento; isso prova conservação de energia. Mas a via que fiz aqui (calcular K e U com as soluções e somar) é a mais direta para obter a expressão numérica em termos de A, m e \omega.

Passo 10

Recapitulando de maneira bem prática: a energia total é a soma das energias cinética e potencial; ao usar as expressões de x(t) e v(t) para MHS e a relação \(k=m\omega^{2}) chegamos à expressão final constante e simples.
Força, você consegue! Se quiser, eu faço um exemplo numérico para fixar ou mostro a demonstração usando derivadas (dE/dt=0).

Resposta

\displaystyle E=\frac{1}{2} m A^{2} \omega^{2}

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