Demonstre que a energia mecânica de um sistema que realiza movimento harmônico simples é
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar que a energia mecânica total de um sistema que realiza movimento harmônico simples (MHS) vale
.
Informações dadas (ou implícitas) e o que vamos usar:
- O sistema tem massa ) e realiza MHS com amplitude ) e pulsação (frequência angular) ).
- Em MHS a força restauradora é proporcional à posição (força elástica típica), o que nos permite usar a constante elástica ) e relacioná-la com ) por ).
- O objetivo é mostrar que a soma da energia cinética e da energia potencial é igual a
e que esse valor é constante no tempo.
Passo 2
Equação do movimento e solução geral — vamos deixar claro de onde tudo vem.
Para um oscilador harmônico (por exemplo, massa presa a uma mola ideal) a equação do movimento é a equação diferencial
onde
) é a posição da massa no tempo,
) é a segunda derivada temporal de
),
) é a massa e
) é a constante elástica da mola.
A solução geral desta equação, que descreve um MHS, pode ser escrita como
onde:
-
) é a amplitude (valor máximo de
), -
) é a pulsação, definida por
, - ) é a fase inicial (constante determinada pelas condições iniciais).
Expliquei cada símbolo para você não se perder — amplitude é o máximo deslocamento, pulsação é a velocidade angular das oscilações, fase desloca no tempo.
Passo 3
Derivando a posição para obter a velocidade.
A velocidade é a derivada temporal de
). Derivando
usamos a regra da cadeia (derivada de
é
e multiplicamos pela derivada interna
):
Aqui
) é a velocidade instantânea.
Passo 4
Energia cinética — fórmula e substituição.
A energia cinética de uma massa é dada por
Substituindo a expressão de
) obtemos
Como o quadrado elimina o sinal negativo,
Expliquei:
significa
.
Passo 5
Energia potencial elástica — fórmula e substituição.
A energia potencial armazenada numa mola deformada por uma distância
) é
Substituindo
) obtemos
Passo 6
Relacione
) e
) para escrever
em termos de
e
.
Da definição da pulsação temos
Substituindo esse
em
,
ou
Expliquei: fiz isso porque queremos a energia total em função de
,
e
.
Passo 7
Some energia cinética e potencial para obter a energia mecânica total.
A energia mecânica total é
Substituindo as expressões encontradas:
Fatorando
temos
Passo 8
Use a identidade trigonométrica fundamental e conclua.
A identidade trigonométrica básica diz que, para qualquer argumento,
Aplicando com
obtemos
ou seja
Isso mostra que a energia mecânica é constante no tempo (não depende de
) e vale exatamente
.
Passo 9
Comentário didático rápido (idéia alternativa que você pode usar na prova).
Uma alternativa é mostrar diretamente que
usando
e a equação do movimento; isso prova conservação de energia. Mas a via que fiz aqui (calcular
e
com as soluções e somar) é a mais direta para obter a expressão numérica em termos de
,
e
.
Passo 10
Recapitulando de maneira bem prática: a energia total é a soma das energias cinética e potencial; ao usar as expressões de
e
para MHS e a relação
) chegamos à expressão final constante e simples.
Força, você consegue! Se quiser, eu faço um exemplo numérico para fixar ou mostro a demonstração usando derivadas (dE/dt=0).