(a) Verifique se o sistema tem solução. Em caso afirmativo, determine o conjunto solução.
(b) Determine as posições pivô da matriz aumentada do sistema.
(c) Se A é a matriz desse sistema, A \vec{x}=\vec{b} possui solução para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{3} ?
As perguntas são:
(a) Verificar se o sistema tem solução e, em caso afirmativo, determinar o conjunto solução.
(b) Determinar as posições pivô da matriz aumentada do sistema.
(c) Se A é a matriz do sistema (a matriz 3\times4 dos coeficientes), a equação A\vec{x}=\vec{b} possui solução para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^3?
Informações relevantes dadas (explícitas no enunciado):
Há 3 equações e 4 incógnitas \,x,y,z,w.
A última equação não envolve x (coeficiente de x é zero).
Queremos tanto verificar consistência quanto descrever o conjunto solução quando existir.]
Passo 2
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar eliminação de Gauss (operações de linha elementares) para chegar a uma forma escalonada. A matriz aumentada inicial é
Explicando rápido: cada linha corresponde a uma equação; as quatro primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z,w e a última é o termo independente (vetor \vec b).
Agora fazemos operações para zerar abaixo do pivô da primeira coluna. Subtraímos a linha 1 da linha 2:
Expliquei o passo: escolhemos a primeira linha como pivô (o primeiro coeficiente não nulo na coluna 1) e zeramos o elemento correspondente na linha 2.]
Passo 3
Agora usamos a nova linha 2 para zerar o elemento na coluna 2 da linha 3. Fazemos
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + 2\,\text{R}_2.
Calculemos cada entrada da linha 3: para a coluna 2 temos -2 + 2\cdot 1 = 0; coluna 3: 4 + 2\cdot(-2)=0; coluna 4: -2 + 2\cdot 1 = 0; termo independente: -4 + 2\cdot 2 = 0. Assim obtemos
Observação didática: uma linha inteira de zeros na forma escalonada indica que uma das equações era combinacão linear das outras — isso não gera inconsistência enquanto o lado direito também seja zero (se fosse 0= c com c\neq0 seria inconsistente).]
Passo 4
Determinamos a consistência: não apareceu uma linha do tipo [0\;0\;0\;0\mid c] com c\neq0, portanto o sistema é consistente e tem soluções (pelo menos uma). O posto (rank) da matriz aumentada e da matriz de coeficientes é o número de linhas não nulas na forma escalonada; aqui é 2. Como há 4 incógnitas, esperamos uma família infinita de soluções com duas variáveis livres (grau de liberdade =4-2=2).
Agora fazemos substituição regressiva para expressar as variáveis em função de parâmetros. A segunda linha escalonada dá a equação
\;1\cdot y -2\cdot z + 1\cdot w = 2,
ou seja
y = 2 + 2z - w.
A primeira linha dá
x + 2y + z + w = 1.
Substituindo a expressão de y nessa primeira equação:
x + 2(2 + 2z - w) + z + w = 1.
Faço as contas passo a passo:
x + 4 + 4z - 2w + z + w = 1,
x + 4 + 5z - w = 1,
x = 1 - 4 - 5z + w = -3 -5z + w.
Passo 5
Escolhemos variáveis livres para parametrizar a solução. É conveniente tomar
s=z,\qquad t=w,
com s,t\in\mathbb{R}\). Então
\[\begin{cases} z = s,\\[4pt] w = t,\\[4pt] y = 2 + 2s - t,\\[4pt] x = -3 -5s + t. \end{cases}
Colocando em forma vetorial (forma padrão para conjuntos solução):
Explicação: a primeira coluna é uma solução particular (pegar s=t=0\] dá \((-3,2,0,0) que satisfaz o sistema) e as duas colunas seguintes geram o espaço de soluções homogêneas (a solução geral é particular + combinação linear das soluções do homogêneo).]
Passo 6
Agora as posições pivô da matriz aumentada: depois da eliminação os pivôs aparecem na primeira linha, primeira coluna e na segunda linha, segunda coluna. Ou seja, as posições (índice linha, índice coluna) são
(1,1)\quad\text{e}\quad(2,2).
Observação adicional: as colunas 3 e 4 (correspondentes a z e w) não têm pivô e são colunas livres.
Passo 7
Resposta à parte (c). A matriz A dos coeficientes é 3\times4 e seu posto é \operatorname{rank}(A)=2 (igual ao número de pivôs que encontramos). Para que A\vec{x}=\vec b tenha solução para todo \vec b\in\mathbb{R}^3 seria necessário que as colunas de A gerassem \mathbb{R}^3, isto é, que \operatorname{rank}(A)=3. Como \operatorname{rank}(A)=2<3, não é possível obter todo \mathbb{R}^3 como combinação linear das colunas de A. Portanto existem vetores \vec b para os quais A\vec x=\vec b não tem solução.
(b) Posições pivô da matriz aumentada: (1,1) e (2,2).
(c) Não; \operatorname{rank}(A)=2<3, logo A\vec{x}=\vec b não possui solução para todo \vec b\in\mathbb{R}^3.]