Em \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), considere o subespaço S=\left[e^{2 x} \operatorname{sen} x, e^{2 x} \cos x, e^{2 x}\right] e o operador linear D: S \rightarrow S definido por D(f)=f^{\prime}. Considere ainda as funções f_{1}(x)=e^{2 x} sen x, f_{2}(x)=e^{2 x} \cos x e f_{3}(x)=e^{2 x} em \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}). Determine:
(a) a matriz de D em relação à base \mathcal{B}=\left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}\right\} de S.
(b) os autovalores de D e as funções de S que são autovetores de D.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara, só isso):
  • Espaço S gerado pelas funções f_1(x)=e^{2x}\sin x,\qquad f_2(x)=e^{2x}\cos x,\qquad f_3(x)=e^{2x}.Ou seja, S=\operatorname{span}\{f_1,f_2,f_3\} e \mathcal{B}=\{f_1,f_2,f_3\} é base de S.
  • Operador linear D:S\to S definido por D(f)=f' (derivada).
  • Perguntas:
    (a) Determinar a matriz de D em relação à base \mathcal{B}.
    (b) Determinar os autovalores de D e as funções de S que são autovetores de D.

Passo 2

Como obter a matriz de D na base \mathcal{B} (procedimento):
  • Regra: para cada vetor de base f_j calculamos D(f_j)=f_j' e escrevemos f_j' como combinação linear das funções da base. As coordenadas dessa combinação formam a j-ésima coluna da matriz [D]_{\mathcal{B}}.
  • Vou usar a regra do produto para derivar e^{2x}\cdot(\sin x) e e^{2x}\cdot(\cos x). A regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'. Também uso (e^{2x})' = 2e^{2x}, (\sin x)'=\cos x, (\cos x)'=-\sin x.

Passo 3

Calcular f_1', f_2' e f_3' passo a passo e escrever na base \mathcal{B}.
  • Para f_1(x)=e^{2x}\sin x:
    f_1'(x) = (e^{2x})' \sin x + e^{2x}(\sin x)' = 2e^{2x}\sin x + e^{2x}\cos x.
    Fatorando e^{2x}:
    f_1'(x) = e^{2x}(2\sin x + \cos x) = 2\,f_1(x) + 1\cdot f_2(x) + 0\cdot f_3(x).
    Logo as coordenadas de D(f_1) na base \mathcal{B} são \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para f_2(x)=e^{2x}\cos x:
    f_2'(x) = (e^{2x})' \cos x + e^{2x}(\cos x)' = 2e^{2x}\cos x - e^{2x}\sin x.
    Fatorando:
    f_2'(x) = e^{2x}( -\sin x + 2\cos x) = (-1)\,f_1(x) + 2\,f_2(x) + 0\cdot f_3(x).
    Coordenadas: \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para f_3(x)=e^{2x}:
    f_3'(x) = 2e^{2x} = 0\cdot f_1(x) + 0\cdot f_2(x) + 2\cdot f_3(x).
    Coordenadas: \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Montar a matriz de D na base \mathcal{B}:
  • As colunas são as coordenadas de D(f_1),D(f_2),D(f_3) encontradas acima. Portanto [D]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Definição e cálculo dos autovalores (método):
  • Autovalor \lambda satisfaz \det([D]_{\mathcal{B}}-\lambda I)=0.
  • Como a matriz tem bloco 2\times2 no canto superior e o 2 separado na terceira linha/coluna, o polinômio característico separa-se: \det\!\big([D]_{\mathcal{B}}-\lambda I\big) =\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[2pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix}\cdot(2-\lambda).Calculando o determinante do bloco: \det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[2pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2+1.Logo o polinômio característico é p(\lambda)=\big((2-\lambda)^2+1\big)(2-\lambda).As raízes são as soluções de (2-\lambda)^2+1=0 e de 2-\lambda=0. Portanto \lambda=2,\qquad \lambda=2\pm i.Observação: sobre \mathbb{R} apenas \lambda=2 é real; \lambda=2\pm i são conjugados complexos.]

Passo 6

Encontrar os autovetores (funções de S) correspondentes:
  • Para \lambda=2:
    Resolver ( [D]_{\mathcal{B}}-2I)v=0. A matriz [D]_{\mathcal{B}}-2I é
    \begin{pmatrix}0 & -1 & 0\\[2pt]1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
    As equações são -v_2=0, v_1=0, nenhuma restrição sobre v_3. Assim v_1=v_2=0 e v_3 livre. Os vetores próprios têm a forma v=(0,0,t), t\neq0. Na linguagem de funções, os autovetores (funções de S) correspondentes a \lambda=2 são exatamente os múltiplos de
    f_3(x)=e^{2x},
    porque D(e^{2x})=(e^{2x})'=2e^{2x}. Portanto o subespaço próprio associado a \lambda=2 é \operatorname{span}\{e^{2x}\}.
  • Para \lambda=2\pm i (autovalores complexos):
    Esses autovalores não têm autovetores reais em S (pois são complexos), mas há autovetores complexos na complexificação. Resolvendo para o bloco 2\times2 obtemos, por exemplo para \lambda=2+i, um autovetor (coluna) proporcional a \begin{pmatrix}1\\[2pt]-i\\[2pt]0\end{pmatrix}. Em termos de funções:
    f_1(x)-i f_2(x)=e^{2x}\big(\sin x - i\cos x\big)
    é um autovetor complexo associado a \lambda=2+i. Note que
    e^{2x}\big(\sin x - i\cos x\big) = -i\,e^{(2+i)x},
    então é equivalente dizer que e^{(2+i)x} é um autovetor complexo. O autovetor para \lambda=2-i é o conjugado:
    f_1(x)+i f_2(x)=e^{2x}\big(\sin x + i\cos x\big)\sim e^{(2-i)x}.
    Conclusão prática sobre funções reais em S: entre as funções reais de S apenas e^{2x} é autovetor real; e^{2x}\sin x e e^{2x}\cos x não são autovetores reais isolados, mas combinam-se para formar autovetores complexos.]

Resposta

(a) [D]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0\\[4pt]1 & 2 & 0\\[4pt]0 & 0 & 2\end{pmatrix}.
(b) Os autovalores são \lambda=2,\; \lambda=2+i,\; \lambda=2-i. O único autovetor real em S é e^{2x} associado a \lambda=2. Para os autovalores complexos, autovetores (complexos) em S\otimes\mathbb{C} são, por exemplo, f_1-i f_2=e^{2x}(\sin x-i\cos x) para \lambda=2+i e f_1+i f_2=e^{2x}(\sin x+i\cos x) para \lambda=2-i.]

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