Determine todos os valores de a, b, c \in \mathbb{C} para os quais a matriz abaixo seja diagonalizável:
A=\left(\begin{array}{ccc} a & b & 1 \\\\ 0 & c & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de a,b,c\in\mathbb{C} para os quais a matriz
A=\begin{pmatrix} a & b & 1 \\\\ 0 & c & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
é diagonalizável.
Informações dadas:
  • A é uma matriz 3\times3 triangular superior com entradas diagonais a,\;c,\;1.
  • Os parâmetros livres são a,b,c\in\mathbb{C}.
O que se quer: caracterizar todos os triplets (a,b,c) tais que A seja diagonalizável (sobre \mathbb{C}).

Passo 2

Conceitos necessários (breve e didático):
  • Uma matriz 3\times3 é diagonalizável se existe base de \mathbb{C}^3 formada por autovetores. Equivalentemente, a soma das dimensões dos autoespaços (geometric multiplicities) deve ser 3.
  • Para cada valor próprio \lambda, a multiplicidade algébrica é a multiplicidade de \lambda como raiz do polinômio característico; a multiplicidade geométrica é \dim\ker(A-\lambda I).
  • A condição prática: para cada valor próprio \lambda deve valer \dim\ker(A-\lambda I)=\text{multiplicidade algébrica de }\lambda.é
  • Observação útil: como A é triangular superior, os valores próprios são exatamente as entradas diagonais: a,\;c,\;1. Assim a discussão se organiza conforme coincidam ou não esses números.

Passo 3

Caso geral: autovalores e multiplicidades algébricas.
  • Os autovalores são \,a,\;c,\;1.
  • Se a,\;c,\;1 são todos distintos (i.e. a\neq c,\;a\neq1,\;c\neq1), então todas as multiplicidades algébricas são 1. Nesse caso uma matriz com 3 autovalores distintos é sempre diagonalizável (cada autovalor tem um autovetor independente). Conclusão: se a,\;c,\;1 são distintos então A é diagonalizável para qualquer b.
Agora tratamos os casos em que há igualdades entre a,c,1.

Passo 4

Caso [a=c) com a\neq1 (ou seja, a=c e diferente de 1).
  • Aqui o autovalor \lambda=a tem multiplicidade algébrica 2 e \lambda=1 tem multiplicidade algébrica 1.
  • Para decidir diagonalizabilidade precisamos calcular \dim\ker(A-aI) e ver se é 2.
Calcule A-aI. Como c=a,
A-aI=\begin{pmatrix} 0 & b & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1-a \end{pmatrix}.
Resolvemos (A-aI)x=0 com x=(x_1,x_2,x_3)^T. As equações são:
\begin{cases} 0\cdot x_1 + b x_2 + 1\cdot x_3 =0,\\[4pt] 0=0 \\ (\text{segunda linha não dá equação}),\\[4pt] (1-a)x_3=0. \end{cases}ãáçã
Como a\neq1\], temos \(1-a\neq0, logo a terceira equação força x_3=0. Substituindo em primeira, obtemos b x_2 =0. Assim:
  • Se b\neq0 então x_2=0 e sobra apenas x_1 livre, portanto \dim\ker(A-aI)=1 (insuficiente) → não diagonalizável.
  • Se b=0 então x_2 e x_1 são livres (com x_3=0), portanto \dim\ker(A-aI)=2 (igual à multiplicidade algébrica) → diagonalizável.
Conclusão deste caso: se a=c\neq1 então A é diagonalizável se, e somente se, b=0.]

Passo 5

Caso a=1\) com \(c\neq1\) (ou seja, autovalores \(1\) com multiplicidade algébrica \(2\) provenientes das entradas \(a\) e \(1\), e \(c\) distinto). - Precisamos calcular \(\dim\ker(A-I)\). Calcule \(A-I\) com \(a=1\): \[A-I=\begin{pmatrix} 0 & b & 1 \\\\ 0 & c-1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Equações de (A-I)x=0:
\begin{cases} b x_2 + x_3 = 0,\\[4pt] (c-1)x_2 = 0,\\[4pt] 0=0. \end{cases}
Como c\neq1\], tem-se \(c-1\neq0 e a segunda equação força x_2=0. Então da primeira fica x_3=0. Sobram apenas x_1 livre, logo \dim\ker(A-I)=1. Mas a multiplicidade algébrica de 1 é 2, então a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica e A não é diagonalizável.
Conclusão: se a=1 e c\neq1 então A não é diagonalizável (nenhum b resolve isso).]

Passo 6

Caso c=1 com a\neq1 (autovalor 1 com multiplicidade algébrica 2 vindo de c e do terceiro elemento da diagonal).
  • Compute A-I com c=1:
A-I=\begin{pmatrix} a-1 & b & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Equação (A-I)x=0 é apenas:
(a-1)x_1 + b x_2 + x_3 = 0,
uma única equação linear independente para os três incógnitos. Portanto o espaço solução tem dimensão 3-1=2. A multiplicidade algébrica do autovalor 1 também é 2, logo a multiplicidade geométrica é igual à algébrica e essa parte não impede diagonalização. Como o outro autovalor \,a\neq1 tem multiplicidade algébrica 1, sua multiplicidade geométrica será 1. Assim obtemos três autovetores independentes e A é diagonalizável para todo b.
Conclusão: se c=1 e a\neq1 então A é diagonalizável para qualquer b.

Passo 7

Caso especial a=c=1 (todos os autovalores iguais a 1, multiplicidade algébrica 3).
  • Aqui
A-I=\begin{pmatrix} 0 & b & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Essa matriz tem posto 0 se e somente se todas as entradas são zero; mas a entrada (1,3) é 1\neq0, logo o posto é pelo menos 1. De fato o posto é 1 (não há forma de zerar aquela entrada variando b). Assim \dim\ker(A-I)=3-1=2, mas a multiplicidade algébrica é 3, então a multiplicidade geométrica 2<3 e a matriz não é diagonalizável.
Conclusão: se a=c=1 então A não é diagonalizável (para nenhum b).

Passo 8

Resumo completo (união dos casos analisados):
  • Se a,\;c,\;1 são todos distintos ( a\neq c,\;a\neq1,\;c\neq1) então A é diagonalizável para todo b.
  • Se c=1 e a\neq1 então A é diagonalizável para todo b.
  • Se a=c\neq1 então A é diagonalizável se, e somente se, b=0.
  • Se a=1 e c\neq1 então A não é diagonalizável (para nenhum b).
  • Se a=c=1 então A não é diagonalizável (para nenhum b).
Essas alternativas cobrem todas as possibilidades de igualdades entre a,c,1.

Resposta

Se a,\;c,\;1 são todos distintos então A é diagonalizável para qualquer b.
Se c=1 e a\neq1 então A é diagonalizável para qualquer b.
Se a=c\neq1 então A é diagonalizável se, e somente se, b=0.
Se a=1 e c\neq1 então A não é diagonalizável (para nenhum b).
Se a=c=1 então A não é diagonalizável (para nenhum b).

Exercícios relacionados