a) Por que não é conveniente controlar um sistema com um controlador puramente derivativo? Como corrigir esta inconveniência?
b) Qual o efeito de um controlador em avanço de fase sobre o overshoot e erro em regime permanente do sistema controlade?
b) Qual o efeito de um controlador em avanço de fase sobre o overshoot e erro em regime permanente do sistema controlade?
Passo 1
Beleza, o exercício tá em Controle Clássico de Sistemas no domínio de Laplace. Ele tem duas perguntas:
a) Por que não usar só o termo derivativo puro e como consertar?
b) O que um controlador de avanço de fase faz no overshoot e no erro em regime permanente?
Para resolver isso, a gente vai precisar entender:
a) Por que não usar só o termo derivativo puro
b) O que um controlador de avanço de fase faz no overshoot e no erro em regime permanente?
Para resolver isso, a gente vai precisar entender:
- Como funciona um controlador derivativo (e suas desvantagens: ganho em alta frequência e ganho DC zero).
- A forma geral de um avanço de fase e seus efeitos na margem de fase e ganho DC.
Passo 2
Vamos falar primeiro do controlador derivativo puro.
Teoria básica:
Um controlador derivativo é dado por
Teoria básica:
Um controlador derivativo é dado por
Isso significa que o ganho dele cresce indefinidamente com a frequência (
), porque
.
O problema prático aqui é que qualquer ruído de alta frequência que entrar no sistema vai ser fortemente amplificado—e ruído sempre existe! Além disso, como o ganho em é zero (
), ele não ajuda em erro em regime permanente: o sistema continua tendo o mesmo erro estático.
O problema prático aqui é que qualquer ruído de alta frequência que entrar no sistema vai ser fortemente amplificado—e ruído sempre existe! Além disso, como o ganho em
Passo 3
Como corrigir essa inconveniência?
A ideia é “fazer um derivador filtrado”, ou seja, colocar um polo que limite o ganho em alta frequência. A forma mais comum é:
A ideia é “fazer um derivador filtrado”, ou seja, colocar um polo que limite o ganho em alta frequência. A forma mais comum é:
onde
é um polo de filtro (um valor grande, tipo
ou
).
- Para baixas frequências (
), , é quase derivada pura. - Para altas frequências (
), , o ganho fica limitado a .
Assim, a gente evita amplificar demais o ruído e mantém algum ganho em DC (se quiser, misturando com um ganho proporcional).
Passo 4
Agora, controlador de avanço de fase (lead). A forma típica é:
O que isso faz?
- Aumenta a margem de fase em torno da frequência de cruzamento de ganho, levantando a curva de fase. Maior margem de fase significa mais amortecimento no sistema fechado, ou seja, overshoot menor.
- O ganho DC de
é
Se você ajustar
para manter o mesmo ganho DC do laço (ou deixar
e
de modo que
), o avanço de fase não altera muito o erro em regime permanente. Em geral, o lead melhora dinâmica (menos overshoot), mas não corrige erro estático—para isso você precisaria de um integral.
Resposta
a) Um derivador puro
amplifica demais ruído (ganho vai pro infinito em alta frequência) e não ajuda no erro em regime permanente (ganho DC zero). A solução é usar um derivador filtrado, por exemplo
que limita o ganho em altas frequências e evita excesso de ruído.
b) Um avanço de fase aumenta a margem de fase, reduzindo o overshoot, mas mantém (ou não altera significativamente) o erro em regime permanente, pois seu ganho DC é constante.
b) Um avanço de fase