a) Por que não é conveniente controlar um sistema com um controlador puramente derivativo? Como corrigir esta inconveniência?
b) Qual o efeito de um controlador em avanço de fase sobre o overshoot e erro em regime permanente do sistema controlade?

Passo 1

Beleza, o exercício tá em Controle Clássico de Sistemas no domínio de Laplace. Ele tem duas perguntas:
a) Por que não usar só o termo derivativo puro e como consertar?
b) O que um controlador de avanço de fase faz no overshoot e no erro em regime permanente?
Para resolver isso, a gente vai precisar entender:
  • Como funciona um controlador derivativo (e suas desvantagens: ganho em alta frequência e ganho DC zero).
  • A forma geral de um avanço de fase e seus efeitos na margem de fase e ganho DC.

Passo 2

Vamos falar primeiro do controlador derivativo puro.
Teoria básica:
Um controlador derivativo é dado por
CD(s)=KD,s
Isso significa que o ganho dele cresce indefinidamente com a frequência ( ), porque .
O problema prático aqui é que qualquer ruído de alta frequência que entrar no sistema vai ser fortemente amplificado—e ruído sempre existe! Além disso, como o ganho em é zero ( ), ele não ajuda em erro em regime permanente: o sistema continua tendo o mesmo erro estático.

Passo 3

Como corrigir essa inconveniência?
A ideia é “fazer um derivador filtrado”, ou seja, colocar um polo que limite o ganho em alta frequência. A forma mais comum é:
CD^rm fi
onde é um polo de filtro (um valor grande, tipo ou ).
  • Para baixas frequências ( ), , é quase derivada pura.
  • Para altas frequências ( ), , o ganho fica limitado a .
    Assim, a gente evita amplificar demais o ruído e mantém algum ganho em DC (se quiser, misturando com um ganho proporcional).

Passo 4

Agora, controlador de avanço de fase (lead). A forma típica é:
Crm <=ad(s)=K;tau,s+1alpha,tau,s+1, 0
O que isso faz?
  1. Aumenta a margem de fase em torno da frequência de cruzamento de ganho, levantando a curva de fase. Maior margem de fase significa mais amortecimento no sistema fechado, ou seja, overshoot menor.
  2. O ganho DC de limsto0Crm <=ad(s)=K,11 = K é
Se você ajustar para manter o mesmo ganho DC do laço (ou deixar e de modo que ), o avanço de fase não altera muito o erro em regime permanente. Em geral, o lead melhora dinâmica (menos overshoot), mas não corrige erro estático—para isso você precisaria de um integral.

Resposta

a) Um derivador puro CD(s)=KD,N,ss+N, amplifica demais ruído (ganho vai pro infinito em alta frequência) e não ajuda no erro em regime permanente (ganho DC zero). A solução é usar um derivador filtrado, por exemplo
que limita o ganho em altas frequências e evita excesso de ruído.
b) Um avanço de fase aumenta a margem de fase, reduzindo o overshoot, mas mantém (ou não altera significativamente) o erro em regime permanente, pois seu ganho DC é constan­te.

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