Considerando uma solução de NaCl em 1000 g de água. Sendo n_{B} a quantidade de matéria de NaCl para 1000 g de solução, o volume total da solução é dado pela seguinte expressão empírica com os seus respectivos parâmetros:
V=a+b n_{B}+c n_{B}^{3 / 2}+k n_{B}^{2}
a=1002,96
b=16,6253
c=1,7738
k=0,194
a) Encontre um expressão para o volume parcial molar do NaCl .
b) Encontre o volume parcial molar do NaCl que possui uma molalidade de 1,00 \mathrm{~mol} / \mathrm{kg}.
c) Encontre uma expressão para o volume parcial molar da água.
d) Calcule o volume parcial molar da água para a mesma solução do item (b).

Passo 1

O enunciado dá o volume total da solução, para 1000 g de solução, como função da quantidade de matéria de NaCl, n_{B}, por
V(n_{B}) = a + b\,n_{B} + c\,n_{B}^{3/2} + k\,n_{B}^{2},
com a=1002,96, b=16,6253, c=1,7738 e k=0,194.
Queremos encontrar o volume parcial molar de NaCl ( \bar V_{B}) e o volume parcial molar da água ( \bar V_{A}), e depois avaliar esses volumes para molalidade 1{,}00\;\mathrm{mol/kg}.

Passo 2

Por definição termodinâmica, o volume parcial molar de NaCl é
\bar V_{B} \;=\;\Bigl(\frac{\partial V}{\partial n_{B}}\Bigr)_{T,P,n_{A}}.
Como na expressão dada a única variável é n_{B} (e n_{A} está fixo), basta derivar:
\bar V_{B}(n_{B}) = b \;+\;\frac{3}{2}\,c\,n_{B}^{1/2}\;+\;2\,k\,n_{B}.

Passo 3

Para uma molalidade de 1{,}00\;\mathrm{mol/kg} de água temos n_{B}=1{,}00\;\mathrm{mol}. Substituindo em \bar V_{B}(n_{B}):
\bar V_{B}(1) = b + \frac{3}{2}\,c + 2\,k = 16,6253 + \tfrac{3}{2}\times1,7738 + 2\times0,194 = 16,6253 + 2,6607 + 0,388 = 19,6740.

Passo 4

O volume parcial molar da água satisfaz a relação de Gibbs–Duhem para volume:
n_{A}\,\bar V_{A} + n_{B}\,\bar V_{B} = V.
Isolando \bar V_{A} e usando V = a + b\,n_{B} + c\,n_{B}^{3/2} + k\,n_{B}^{2} e \bar V_{B} do Passo 2, obtemos
\bar V_{A}(n_{B}) = \frac{V - n_{B}\,\bar V_{B}}{n_{A}} = \frac{a + b\,n_{B} + c\,n_{B}^{3/2} + k\,n_{B}^{2} - n_{B}\bigl[b + \tfrac{3}{2}c\,n_{B}^{1/2} + 2k\,n_{B}\bigr]}{n_{A}}.
No numerador simplifica-se para
a \;-\;\tfrac{1}{2}\,c\,n_{B}^{3/2}\;-\;k\,n_{B}^{2},
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\bar V_{A}(n_{B}) = \frac{a - \tfrac{1}{2}\,c\,n_{B}^{3/2} - k\,n_{B}^{2}}{n_{A}}.

Passo 5

Para n_{B}=1{,}00\;\mathrm{mol} e n_{A}=\frac{1000\;\mathrm{g}}{18{,}015\;\mathrm{g/mol}}\approx55{,}51\;\mathrm{mol}, temos
\bar V_{A}(1) = \frac{1002{,}96 \;-\; \tfrac12\times1{,}7738 \;-\; 0{,}194}{55{,}51} = \frac{1002{,}96 -0{,}8869 -0{,}194}{55{,}51} = \frac{1001{,}8791}{55{,}51} \approx18{,}05.

Resposta

a) \displaystyle \bar V_{B}(n_{B}) = b + \tfrac32\,c\,n_{B}^{1/2} + 2\,k\,n_{B}.
b) \displaystyle \bar V_{B}(1{,}00) = 19{,}6740.
c) \displaystyle \bar V_{A}(n_{B}) = \frac{a - \tfrac12\,c\,n_{B}^{3/2} - k\,n_{B}^{2}}{n_{A}}.
d) \displaystyle \bar V_{A}(1{,}00) \approx 18{,}05.

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