Considerando Y a tonelagem produzida de um certo cereal e X a área plantada em hectares, conforme os dados na tabela abaixo, faça o que se pede:
a) Construa o diagrama de dispersão;
b) Calcule o coeficiente de correlação e interprete o resultado;
c) Faça o teste de significância para o coeficiente;
d) Estime a reta de regressão;
e) Faça o teste de hipótese para a regressão e enuncie as hipóteses;
f) Calcule os erros da previsão;
g) Faça a previsão para Y quando o valor de X for igual a 35 e 40.
Y (ton.)
11
14
13
20
15
24
20
27
23
33
X (área)
10
11
11
15
14
18
20
21
20
30
a) Construa o diagrama de dispersão;
b) Calcule o coeficiente de correlação e interprete o resultado;
c) Faça o teste de significância para o coeficiente;
d) Estime a reta de regressão;
e) Faça o teste de hipótese para a regressão e enuncie as hipóteses;
f) Calcule os erros da previsão;
g) Faça a previsão para Y quando o valor de X for igual a 35 e 40.
| Y (ton.) | 11 | 14 | 13 | 20 | 15 | 24 | 20 | 27 | 23 | 33 |
| X (área) | 10 | 11 | 11 | 15 | 14 | 18 | 20 | 21 | 20 | 30 |
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não resolvo nada ainda, só listo).
- Dados (pares
com = área em hectares e = tonelagem): - Tamanho da amostra:
.
O enunciado pede, em itens:
a) construir o diagrama de dispersão;
b) calcular o coeficiente de correlação e interpretar;
c) teste de significância para o coeficiente de correlação;
d) estimar a reta de regressão (mínimos quadrados);
e) teste de hipótese para a regressão (enunciar hipóteses e testar);
f) calcular os erros da previsão;
g) prever para
e
.
a) construir o diagrama de dispersão;
b) calcular o coeficiente de correlação e interpretar;
c) teste de significância para o coeficiente de correlação;
d) estimar a reta de regressão (mínimos quadrados);
e) teste de hipótese para a regressão (enunciar hipóteses e testar);
f) calcular os erros da previsão;
g) prever
Passo 2
Diagrama de dispersão (como montar na prova / interpretação dos pontos).
- Para construir o diagrama de dispersão, plote no plano cartesiano os pontos listados no Passo 1: cada ponto tem abscissa
e ordenada . - Lista dos pontos pronta para plotagem (copiar fielmente no papel milimetrado):
- Observação visual: ao olhar para esses pontos (sem ainda calcular nada) nota-se uma tendência crescente — à medida que
aumenta, tende a aumentar. Isso sugere correlação positiva.
Passo 3
Cálculo das estatísticas sumárias necessárias (faço as somas passo a passo).
- Somatórios e médias (calcular diretamente da tabela):
- Somatórios de quadrados e produto:
(essas quantidades vêm da soma das colunas
,
e dos produtos
dos pares, conforme os dados.)
Passo 4
Cálculo de
e explicação do que são.
- Definições (explicação didática):
-
mede a variabilidade de ao redor da média: -
mede a variabilidade de : -
mede a covariância não normalizada entre e :
-
- Cálculos:
Passo 5
Cálculo do coeficiente de correlação linear
e interpretação.
- Fórmula e significado (explicação didática):
- O coeficiente de correlação de Pearson é
- Ele varia entre
e . Valores próximos de indicam correlação linear positiva forte; próximos de correlação negativa forte; próximos de fraca ou nenhuma correlação linear.
- O coeficiente de correlação de Pearson é
- Cálculo:
Primeiro calcule o denominador: e . Logo - Interpretação:
- Há uma correlação linear positiva muito forte entre área plantada
e produção . - O coeficiente de determinação é
, ou seja, aproximadamente da variabilidade de é explicada pela reta de regressão em função de .
- Há uma correlação linear positiva muito forte entre área plantada
Passo 6
Teste de significância para o coeficiente de correlação (hipóteses, estatística, conclusão).
- Hipóteses:
- Estatística de teste (explicação):
- Usa-se a estatística
com graus de liberdade; sob segue .
- Usa-se a estatística
- Cálculo:
Graus de liberdade:
. Para
(teste bilateral) o valor crítico é
.
- Conclusão:
- Como
, rejeita-se . Há evidência estatística forte de correlação linear entre e .
- Como
Passo 7
Estimativa da reta de regressão por mínimos quadrados (fórmula, cálculo exato e aproximação).
- Modelo linear e interpretação:
onde (coeficiente angular) estima a variação média de para um aumento unitário de , e (intercepto) é o valor previsto de quando (interpretação cuidadosa se não for razoável). - Fórmulas:
- Cálculo:
- Reta estimada:
Passo 8
Teste de hipótese para a regressão (teste do coeficiente angular) — enunciação e verificação.
- Hipóteses (sobre o coeficiente angular):
- Cálculos auxiliares (Soma dos quadrados da regressão e dos resíduos):
- Soma dos quadrados totais em torno da média:
(já calculado). - Soma dos quadrados explicada pela regressão (SSR):
- Soma dos quadrados dos resíduos (SSE):
- Soma dos quadrados totais em torno da média:
- Estimador da variância residual e erro padrão do coeficiente angular:
- Estatística
para : Comparação com . - Conclusão:
- Como
, rejeita-se . O coeficiente angular é significativamente diferente de zero, ou seja, explica linearmente .
- Como
Passo 9
Cálculo dos erros da previsão (erro padrão residual e erros padrão das previsões para média e para uma nova observação).
- Erro padrão dos resíduos (erro padrãoda estimação):
Explicação: dá a dispersão típica dos resíduos . - Fórmulas para erro padrão da previsão no ponto
: - Erro padrão da estimativa da média condicional
: - Erro padrão da previsão de uma nova observação
em :
- Erro padrão da estimativa da média condicional
- Cálculo numérico para
:
- Cálculo numérico para
:
Passo 10
Previsões para
e
(valores ajustados e intervalos de confiança/predição de
).
- Primeiro calcule as previsões pontuais usando
com e . - Para
: Intervalo de confiança de para a média condicional em : com . Assim isto é aproximadamente .
Intervalo de predição depara uma nova observação em : isto é aproximadamente . - Para
: Intervalo de confiança de para a média condicional em : isto é aproximadamente .
Intervalo de predição depara uma nova observação em : isto é aproximadamente .
Resposta
(a) Pontos do diagrama de dispersão:
.
(b) Coeficiente de correlação: (correlação linear positiva muito forte);
(≈91,26% da variabilidade de
explicada por
).
(c) Teste do coeficiente: contra
; estatística
com
gl;
; rejeita-se
(correlação significativa).
(d) Reta de regressão estimada:
(e) Teste da regressão (slope): vs
;
com
gl; comparar com
→ rejeita-se
(o coeficiente angular é significativo).
(f) Erros da previsão: erro padrão residual . Para
:
Para
:
(g) Previsões: com IC95% da média
e PI95% para nova observação
com IC95% da média
e PI95% para nova observação
(b) Coeficiente de correlação:
(c) Teste do coeficiente:
(d) Reta de regressão estimada:
(e) Teste da regressão (slope):
(f) Erros da previsão: erro padrão residual
(g) Previsões: