Considerando Y a tonelagem produzida de um certo cereal e X a área plantada em hectares, conforme os dados na tabela abaixo, faça o que se pede:
a) Construa o diagrama de dispersão;
b) Calcule o coeficiente de correlação e interprete o resultado;
c) Faça o teste de significância para o coeficiente;
d) Estime a reta de regressão;
e) Faça o teste de hipótese para a regressão e enuncie as hipóteses;
f) Calcule os erros da previsão;
g) Faça a previsão para Y quando o valor de X for igual a 35 e 40.
Y (ton.) 11 14 13 20 15 24 20 27 23 33
X (área) 10 11 11 15 14 18 20 21 20 30

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não resolvo nada ainda, só listo).
  • Dados (pares (X_i,Y_i) com X = área em hectares e Y = tonelagem): (10,11),\\ (11,14),\\ (11,13),\\ (15,20),\\ (14,15),\\ (18,24),\\ (20,20),\\ (21,27),\\ (20,23),\\ (30,33).
  • Tamanho da amostra: n=10.
O enunciado pede, em itens:
a) construir o diagrama de dispersão;
b) calcular o coeficiente de correlação e interpretar;
c) teste de significância para o coeficiente de correlação;
d) estimar a reta de regressão (mínimos quadrados);
e) teste de hipótese para a regressão (enunciar hipóteses e testar);
f) calcular os erros da previsão;
g) prever Y para X=35 e X=40.

Passo 2

Diagrama de dispersão (como montar na prova / interpretação dos pontos).
  • Para construir o diagrama de dispersão, plote no plano cartesiano os pontos listados no Passo 1: cada ponto tem abscissa X e ordenada Y.
  • Lista dos pontos pronta para plotagem (copiar fielmente no papel milimetrado): (10,11),\\ (11,14),\\ (11,13),\\ (15,20),\\ (14,15),\\ (18,24),\\ (20,20),\\ (21,27),\\ (20,23),\\ (30,33).
  • Observação visual: ao olhar para esses pontos (sem ainda calcular nada) nota-se uma tendência crescente — à medida que X aumenta, Y tende a aumentar. Isso sugere correlação positiva.

Passo 3

Cálculo das estatísticas sumárias necessárias (faço as somas passo a passo).
  • Somatórios e médias (calcular diretamente da tabela): \sum X_i = 170,\qquad \sum Y_i = 200.
\bar{X}=\frac{\sum X_i}{n}=\frac{170}{10}=17,\qquad \bar{Y}=\frac{\sum Y_i}{n}=\frac{200}{10}=20.
  • Somatórios de quadrados e produto: \sum X_i^2 = 3228,\qquad \sum Y_i^2 = 4434,\qquad \sum X_iY_i = 3766.
(essas quantidades vêm da soma das colunas X^2, Y^2 e dos produtos X_iY_i dos pares, conforme os dados.)

Passo 4

Cálculo de S_{xx},\,S_{yy},\,S_{xy} e explicação do que são.
  • Definições (explicação didática):
    • S_{xx} mede a variabilidade de X ao redor da média: S_{xx}=\sum X_i^2 - n\bar{X}^2.
    • S_{yy} mede a variabilidade de Y: S_{yy}=\sum Y_i^2 - n\bar{Y}^2.
    • S_{xy} mede a covariância não normalizada entre X e Y: S_{xy}=\sum X_iY_i - n\bar{X}\bar{Y}.
  • Cálculos: S_{xx}=3228 - 10\cdot 17^2 = 3228 - 2890 = 338,
S_{yy}=4434 - 10\cdot 20^2 = 4434 - 4000 = 434,
S_{xy}=3766 - 10\cdot 17\cdot 20 = 3766 - 3400 = 366.

Passo 5

Cálculo do coeficiente de correlação linear r e interpretação.
  • Fórmula e significado (explicação didática):
    • O coeficiente de correlação de Pearson é r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.
    • Ele varia entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam correlação linear positiva forte; próximos de -1 correlação negativa forte; próximos de 0 fraca ou nenhuma correlação linear.
  • Cálculo: r=\frac{366}{\sqrt{338\cdot 434}}.Primeiro calcule o denominador: 338\cdot 434=146692 e \sqrt{146692}\approx 382{,}995. Logo r\approx\frac{366}{382{,}995}\approx 0{,}9553.
  • Interpretação:
    • Há uma correlação linear positiva muito forte entre área plantada X e produção Y.
    • O coeficiente de determinação é \,r^2\approx 0{,}9553^2\approx 0{,}9126, ou seja, aproximadamente 91{,}26\% da variabilidade de Y é explicada pela reta de regressão em função de X.

Passo 6

Teste de significância para o coeficiente de correlação (hipóteses, estatística, conclusão).
  • Hipóteses: H_0:\\ \rho=0\qquad\text{(nenhuma correlação linear na população)}çãçã
H_1:\\ \rho\neq 0\qquad\text{(há correlação linear)}áçã
  • Estatística de teste (explicação):
    • Usa-se a estatística t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}},com n-2 graus de liberdade; sob H_0 segue t_{n-2}.
  • Cálculo: r^2\approx 0{,}9126,\qquad 1-r^2\approx 0{,}0874.
t\approx \frac{0{,}9553\sqrt{8}}{\sqrt{0{,}0874}}\approx 9{,}14.
Graus de liberdade: n-2=8. Para \alpha=0{,}05 (teste bilateral) o valor crítico é t_{0{,}975,8}\approx 2{,}306.
  • Conclusão:
    • Como t\approx 9{,}14\gg 2{,}306, rejeita-se H_0. Há evidência estatística forte de correlação linear entre X e Y.

Passo 7

Estimativa da reta de regressão por mínimos quadrados (fórmula, cálculo exato e aproximação).
  • Modelo linear e interpretação: \hat{Y}=b_0+b_1 X,onde b_1 (coeficiente angular) estima a variação média de Y para um aumento unitário de X, e b_0 (intercepto) é o valor previsto de Y quando X=0 (interpretação cuidadosa se X=0 não for razoável).
  • Fórmulas: b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X}.
  • Cálculo: b_1=\frac{366}{338}=\frac{183}{169}\approx 1{,}08284,
b_0=20 - \frac{183}{169}\cdot 17=\frac{269}{169}\approx 1{,}59172.
  • Reta estimada: \hat{Y}=\frac{269}{169}+\frac{183}{169}X\approx 1{,}5917+1{,}0828\,X.

Passo 8

Teste de hipótese para a regressão (teste do coeficiente angular) — enunciação e verificação.
  • Hipóteses (sobre o coeficiente angular): H_0:\\ \beta_1=0\qquad\text{(nenhuma relação linear entre \(X\) e \(Y\))}çã
H_1:\\ \beta_1\neq 0\qquad\text{(há relação linear)}áçã
  • Cálculos auxiliares (Soma dos quadrados da regressão e dos resíduos):
    • Soma dos quadrados totais em torno da média: S_{yy}=434 (já calculado).
    • Soma dos quadrados explicada pela regressão (SSR): \mathrm{SSR}=b_1 S_{xy}=\frac{366^2}{338}\approx 396{,}331.
    • Soma dos quadrados dos resíduos (SSE): \mathrm{SSE}=S_{yy}-\mathrm{SSR}\approx 434-396{,}331\approx 37{,}669.
  • Estimador da variância residual e erro padrão do coeficiente angular: s^2=\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}\approx\frac{37{,}669}{8}\approx 4{,}7087,\qquad s\approx 2{,}1714.
\mathrm{SE}(b_1)=\frac{s}{\sqrt{S_{xx}}} \approx \frac{2{,}1714}{\sqrt{338}}\approx 0{,}1181.
  • Estatística t para b_1: t=\frac{b_1}{\mathrm{SE}(b_1)}\approx \frac{1{,}08284}{0{,}1181}\approx 9{,}16.Comparação com t_{0{,}975,8}\approx 2{,}306.
  • Conclusão:
    • Como t\approx 9{,}16\gg 2{,}306, rejeita-se H_0. O coeficiente angular é significativamente diferente de zero, ou seja, X explica linearmente Y.

Passo 9

Cálculo dos erros da previsão (erro padrão residual e erros padrão das previsões para média e para uma nova observação).
  • Erro padrão dos resíduos (erro padrãoda estimação): s=\sqrt{\frac{\mathrm{SSE}}{n-2}}\approx 2{,}1714.Explicação: s dá a dispersão típica dos resíduos Y_i-\hat{Y}_i.
  • Fórmulas para erro padrão da previsão no ponto X_0:
    • Erro padrão da estimativa da média condicional \mathbb{E}[Y\mid X=X_0]: \mathrm{SE}_{\text{média}}(X_0)=s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{xx}}}.é
    • Erro padrão da previsão de uma nova observação Y_{\text{new}} em X_0: \mathrm{SE}_{\text{pred}}(X_0)=s\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{xx}}}.
  • Cálculo numérico para X_0=35: X_0-\bar{X}=35-17=18,\qquad \frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{xx}}=\frac{324}{338}\approx 0{,}95858.
\mathrm{SE}_{\text{média}}(35)\approx 2{,}1714\sqrt{0{,}1+0{,}95858}\approx 2{,}1714\cdot 1{,}0289\approx 2{,}234.é
\mathrm{SE}_{\text{pred}}(35)\approx 2{,}1714\sqrt{1+0{,}1+0{,}95858}\approx 2{,}1714\cdot 1{,}435\approx 3{,}116.
  • Cálculo numérico para X_0=40: X_0-\bar{X}=40-17=23,\qquad \frac{(X_0-\bar{X})^2}{S_{xx}}=\frac{529}{338}\approx 1{,}5651.
\mathrm{SE}_{\text{média}}(40)\approx 2{,}1714\sqrt{0{,}1+1{,}5651}\approx 2{,}1714\cdot 1{,}2904\approx 2{,}801.é
\mathrm{SE}_{\text{pred}}(40)\approx 2{,}1714\sqrt{1+0{,}1+1{,}5651}\approx 2{,}1714\cdot 1{,}6327\approx 3{,}544.

Passo 10

Previsões para X=35 e X=40 (valores ajustados e intervalos de confiança/predição de 95\%).
  • Primeiro calcule as previsões pontuais usando \hat{Y}=b_0+b_1X com b_0=\dfrac{269}{169} e b_1=\dfrac{183}{169}.
  • Para X=35: \hat{Y}(35)=\frac{269}{169}+\frac{183}{169}\cdot 35=\frac{6674}{169}\approx 39{,}4905.Intervalo de confiança de 95\% para a média condicional em X=35: \hat{Y}(35)\pm t_{0{,}975,8}\cdot \mathrm{SE}_{\text{média}}(35)écom t_{0{,}975,8}\approx 2{,}306. Assim 39{,}4905\pm 2{,}306\cdot 2{,}234 \approx 39{,}4905\pm 5{,}153,isto é aproximadamente [34{,}338,\\\ 44{,}644].
    Intervalo de predição de 95\% para uma nova observação em X=35: 39{,}4905\pm 2{,}306\cdot 3{,}116 \approx 39{,}4905\pm 7{,}183,isto é aproximadamente [32{,}307,\\\ 46{,}673].
  • Para X=40: \hat{Y}(40)=\frac{269}{169}+\frac{183}{169}\cdot 40=\frac{7589}{169}\approx 44{,}9053.Intervalo de confiança de 95\% para a média condicional em X=40: 44{,}9053\pm 2{,}306\cdot 2{,}801 \approx 44{,}9053\pm 6{,}456,isto é aproximadamente [38{,}449,\\\ 51{,}361].
    Intervalo de predição de 95\% para uma nova observação em X=40: 44{,}9053\pm 2{,}306\cdot 3{,}544 \approx 44{,}9053\pm 8{,}173,isto é aproximadamente [36{,}732,\\\ 53{,}078].

Resposta

(a) Pontos do diagrama de dispersão: (10,11),\\ (11,14),\\ (11,13),\\ (15,20),\\ (14,15),\\ (18,24),\\ (20,20),\\ (21,27),\\ (20,23),\\ (30,33).
(b) Coeficiente de correlação: r\approx 0{,}9553 (correlação linear positiva muito forte); r^2\approx 0{,}9126 (≈91,26% da variabilidade de Y explicada por X).
(c) Teste do coeficiente: H_0:\rho=0 contra H_1:\rho\neq0; estatística t\approx 9{,}14 com 8 gl; p\ll 0{,}05; rejeita-se H_0 (correlação significativa).
(d) Reta de regressão estimada: \displaystyle \hat{Y}= \frac{269}{169}+\frac{183}{169}X\approx 1{,}5917+1{,}0828\,X.
(e) Teste da regressão (slope): H_0:\beta_1=0 vs H_1:\beta_1\neq0; t\approx 9{,}16 com 8 gl; comparar com t_{0{,}975,8}\approx 2{,}306 → rejeita-se H_0 (o coeficiente angular é significativo).
(f) Erros da previsão: erro padrão residual s\approx 2{,}1714. Para X=35: \mathrm{SE}_{\text{média}}\approx 2{,}234,\\ \mathrm{SE}_{\text{pred}}\approx 3{,}116.é Para X=40: \mathrm{SE}_{\text{média}}\approx 2{,}801,\\ \mathrm{SE}_{\text{pred}}\approx 3{,}544.é
(g) Previsões: \hat{Y}(35)\approx 39{,}4905 com IC95% da média \approx[34{,}338,\\\ 44{,}644] e PI95% para nova observação \approx[32{,}307,\\\ 46{,}673]. \hat{Y}(40)\approx 44{,}9053 com IC95% da média \approx[38{,}449,\\\ 51{,}361] e PI95% para nova observação \approx[36{,}732,\\\ 53{,}078].

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