Um fabricante produz resistores com resistência descrita por uma variável aleatória normál com média
e desvio padrão
.
A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenhia resistência inferior a 9950 é
.
A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenhia resistência inferior a 9950 é
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se quer verificar:
- Dados fornecidos:
- média da resistência:
. - desvio padrão:
. - o enunciado afirma que a probabilidade de um resistor ter resistência inferior a
é .
- média da resistência:
- O que o enunciado pede implicitamente: verificar se a probabilidade informada está correta (ou seja, calcular
para a variável aleatória com média e desvio padrão dados e comparar com ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
- Quando uma variável aleatória
tem distribuição normal com média e desvio padrão , para calcular probabilidades do tipo é conveniente transformar em uma variável padrão com média e desvio . Essa transformação é chamada de padronização. - A fórmula de padronização é
Aqui:
-
é a resistência do resistor (variável aleatória). -
é a média (aqui ). -
é o desvio padrão (aqui ). -
é a nova variável padronizada, que segue a distribuição normal padrão (média , desvio ). - A relação entre probabilidades é
Isso significa: para achar
calculamos primeiro o valor
(chamado de escore-
) e então consultamos a tabela da normal padrão ou usamos propriedades da normal padrão para obter a probabilidade.
Passo 3
Aplicando a padronização ao valor que o enunciado deu:
.
- Calcule o escore-
:
- Interpretação:
é um número enorme e positivo. Para a distribuição normal padrão, praticamente toda a massa está concentrada em torno de próximos de ; valores como estão absurdamente longe à direita. - Portanto
Em palavras: a probabilidade de
ser menor que
é praticamente
(ou seja, quase certeza), não
. Logo a afirmação dada no enunciado, se tomada literalmente com
, está incorreta.
Passo 4
Investigar de onde vem o número
(isto é útil para entender o erro e aprender a resolver provas).
- Calcule para
(note que este número é plausível porque está muito perto da média e dará um resultado semelhante a ):
- Agora usamos a distribuição normal padrão. Seja
a função de distribuição da normal padrão. Sabemos a propriedade de simetria:
- Tabelas/valores comuns:
. Então
- Conclusão:
. Ou seja, o valor corresponde exatamente à probabilidade de ser menor que , não que seja menor que .
Passo 5
Interpretação final e dica prática para prova:
- Provavelmente houve um erro de digitação no enunciado original: o correto provavelmente é
(com probabilidade ), e não . - Para provas: sempre calcule o escore-
usando e cheque se o resultado faz sentido numericamente (se for um valor enorme, a probabilidade será praticamente ou ; se for pequeno em magnitude, espere probabilidades próximas de ). Isso ajuda a detectar typos ou respostas absurdas.
Resposta
A afirmação com
está incorreta:
.
O valor corresponde a
, pois
.
O valor