Um fabricante produz resistores com resistência descrita por uma variável aleatória normál com média 1000 \Omega e desvio padrão 10 \Omega.
A probabilidade de que um resistor selecionado aleatoriamente tenhia resistência inferior a 9950 é 0,3085.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se quer verificar:
  • Dados fornecidos:
    • média da resistência: \mu = 1000\\ \Omega.
    • desvio padrão: \sigma = 10\\ \Omega.
    • o enunciado afirma que a probabilidade de um resistor ter resistência inferior a 9950 é \;0,3085.
  • O que o enunciado pede implicitamente: verificar se a probabilidade informada está correta (ou seja, calcular \Pr(X<9950) para a variável aleatória X com média e desvio padrão dados e comparar com 0,3085).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Quando uma variável aleatória X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, para calcular probabilidades do tipo \Pr(X<a) é conveniente transformar X em uma variável padrão Z com média 0 e desvio 1. Essa transformação é chamada de padronização.
  • A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a resistência do resistor (variável aleatória).
  • \mu é a média (aqui \mu=1000\\ \Omega).
  • \sigma é o desvio padrão (aqui \sigma=10\\ \Omega).
  • Z é a nova variável padronizada, que segue a distribuição normal padrão (média 0, desvio 1).
  • A relação entre probabilidades é
\Pr(X<a)=\Pr\!\left(Z<\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
Isso significa: para achar \Pr(X<a) calculamos primeiro o valor \dfrac{a-\mu}{\sigma} (chamado de escore- z) e então consultamos a tabela da normal padrão ou usamos propriedades da normal padrão para obter a probabilidade.

Passo 3

Aplicando a padronização ao valor que o enunciado deu: a=9950.
  • Calcule o escore- z:
z=\frac{9950-1000}{10}=\frac{8950}{10}=895.
  • Interpretação: z=895 é um número enorme e positivo. Para a distribuição normal padrão, praticamente toda a massa está concentrada em torno de z próximos de 0; valores como z=895 estão absurdamente longe à direita.
  • Portanto
\Pr(X<9950)=\Pr(Z<895)\approx 1.
Em palavras: a probabilidade de X ser menor que 9950 é praticamente 1 (ou seja, quase certeza), não 0,3085. Logo a afirmação dada no enunciado, se tomada literalmente com 9950, está incorreta.

Passo 4

Investigar de onde vem o número \;0,3085 (isto é útil para entender o erro e aprender a resolver provas).
  • Calcule para a=995 (note que este número é plausível porque está muito perto da média e dará um resultado semelhante a 0,3085):
z=\frac{995-1000}{10}=\frac{-5}{10}=-0,5.
  • Agora usamos a distribuição normal padrão. Seja \Phi(t)=\Pr(Z<t) a função de distribuição da normal padrão. Sabemos a propriedade de simetria:
\Phi(-t)=1-\Phi(t).
  • Tabelas/valores comuns: \Phi(0,5)\approx 0,6915. Então
\Phi(-0,5)=1-\Phi(0,5)=1-0,6915=0,3085.
  • Conclusão: \Pr(X<995)=\Pr(Z<-0,5)=0,3085. Ou seja, o valor 0,3085 corresponde exatamente à probabilidade de X ser menor que 995, não que seja menor que 9950.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para prova:
  • Provavelmente houve um erro de digitação no enunciado original: o correto provavelmente é 995 (com probabilidade \;0,3085), e não 9950.
  • Para provas: sempre calcule o escore- z usando \;z=(a-\mu)/\sigma e cheque se o resultado faz sentido numericamente (se z for um valor enorme, a probabilidade será praticamente 0 ou 1; se for pequeno em magnitude, espere probabilidades próximas de 0,5). Isso ajuda a detectar typos ou respostas absurdas.

Resposta

A afirmação com 9950 está incorreta: \Pr(X<9950)\approx 1.
O valor \;0,3085 corresponde a \Pr(X<995), pois \Pr(X<995)=\Pr\!\big(Z<-0,5\big)=0,3085.

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