Dois atiradores, Lucas e Mariana, atiram simultaneamente contra um alvo. A probabilidade de Lucas acertar o alvo é de
e a de Mariana é de
. Como os tiros de cada um são eventos independentes, qual é a probɛ ilidade de o alvo ser atingido por pelo menos um dos dois atiradores?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (vou usar estas informações tal como foram fornecidas).
- Probabilidades dadas:
- A probabilidade de Lucas acertar é
. - A probabilidade de Mariana acertar é
.
- A probabilidade de Lucas acertar é
- Informação extra do enunciado:
- Os tiros são eventos independentes.
- O que o enunciado pede:
- Calcular a probabilidade de que o alvo seja atingido por pelo menos um dos dois atiradores (ou seja, que aconteça “Lucas acerta” OU “Mariana acerta”, inclusive a possibilidade de ambos acertarem).
Passo 2
Converter percentuais em probabilidades numéricas e explicar o que significa independência.
- Converter percentuais em números entre
e : -
(porque ). -
(porque ).
-
- Explicando independência de forma simples:
- Dois eventos
e são independentes quando o fato de ocorrer não altera a probabilidade de ocorrer e vice‑versa. - Para eventos independentes vale
. - No nosso caso, isto significa que a probabilidade de ambos acertarem é
.
- Dois eventos
Passo 3
Apresentar a estratégia de resolução (regra do complemento) e explicar por que é conveniente.
- A pergunta é “pelo menos um acerta”, que é equivalente ao evento complementar de “nenhum acerta”.
- Definir eventos:
-
= “Lucas acerta”. -
= “Mariana acerta”. - Queremos
.
-
- Regra do complemento:
- Em geral,
. - Porque “pelo menos um” e “nenhum” são complementares (um acontece exatamente quando o outro não acontece).
- Em geral,
- Usar essa regra é prático aqui porque é fácil calcular a probabilidade de ninguém acertar (ambos errarem), usando independência.
Passo 4
Calcular a probabilidade de cada um errar e então a probabilidade de nenhum acertar.
- Probabilidade de errar:
-
. -
.
-
- Como os erros são independentes (dado que os acertos eram independentes), a probabilidade de ambos errarem é o produto:
Passo 5
Fazer a multiplicação e aplicar o complemento para obter a probabilidade pedida.
- Calcular o produto:
- Aplicar a regra do complemento:
- Interpretando em porcentagem:
.
Passo 6
Pequena verificação intuitiva e exemplo extra para fixar a ideia.
- Intuição: como ambos têm alta chance de acertar, é natural que a chance de pelo menos um acertar seja bem alta (
). - Exemplo simples para lembrar a técnica: se duas pessoas têm
de sucesso cada (moedas justas), a probabilidade de pelo menos uma ter sucesso é ou . Mesmo raciocínio aplicado aqui.