Considerando o vácuo, mas na presença de fontes: escreva as Equações de Maxwell na forma integral em termos dos campos e das densidades de carga e corrente; escreva a expressão para a densidade de energia eletromagnética; escreva a expressão para a Força de Lorentz.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede três coisas de eletromagnetismo clássico:
  1. As quatro Equações de Maxwell na forma integral (considerando vácuo, mas com densidade de carga ρ e densidade de corrente J).
  2. A expressão da densidade de energia eletromagnética.
  3. A expressão da Força de Lorentz.
Para resolver, a gente vai precisar lembrar das leis de Gauss para campo elétrico e magnético, da lei de Faraday, da lei de Ampère–Maxwell e também da definição de energia no campo eletromagnético e da força que um campo exerce sobre cargas. Vou explicar cada pedacinho na boa, sem pular etapas.

Passo 2

Equações de Maxwell em forma integral (vácuo + fontes)
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico:
    A gente imagina uma superfície fechada ointS Ecdot dA ;=; 1varepsilon0 integralV rho,dV que envolve um volume ointS Bcdot dA ;=; 0 . A lei diz que o fluxo do campo elétrico saindo dessa superfície é igual à carga total dentro dividida por ointpartial S Ecdot dell ;=; -,ddt!integralS Bcdot dA . Em LaTeX:
    ointpartial S Bcdot dell ;=; mu0 integralS Jcdot dA ;+; mu0varepsilon0,ddt!integralS Ecdot dA
    Isso vem da lei de Coulomb generalizada para distribuições contínuas de carga.
  2. Lei de Gauss para o campo magnético:
    Não existem “monopolos” magnéticos, então o fluxo de B por qualquer superfície fechada é zero:
  3. Lei de Faraday (indução):
    A variação no tempo do fluxo de B através de uma superfície aberta gera uma força eletromotriz ao longo da borda . Em integral:
  4. Lei de Ampère–Maxwell:
    A circulação de B ao longo do contorno é associada à corrente que passa por mais a taxa de variação do fluxo de E (corrente de deslocamento):

Passo 3

Densidade de energia eletromagnética
A energia armazenada nos campos E e B por unidade de volume é a soma das energias elétrica e magnética. A teoria (vem do teorema de Poynting) dá:
u ;=;12varepsilon0,|E|^2 ;+; 12mu0,|B|^2
Aqui é a permissividade do vácuo e a permeabilidade do vácuo. Essa fórmula mostra quanto de energia o campo guarda naquele pedacinho de espaço.

Passo 4

Força de Lorentz
Quando uma carga F ;=; q,E ;+; q,vtimesB se move com velocidade f ;=; rho,E ;+; JtimesB num campo elétrico E e magnético B, ela sofre a força:
Se você quiser a forma densidade de força (por volume), substitui por densidade de carga e define densidade de corrente , chegando em

Resposta

Maxwell em forma integral (vácuo + fontes):
boxed &ointSEcdot dA ;=; 1varepsilon0integralVrho,dV, ointSBcdot dA ;=; 0, &ointpartial SEcdot dell ;=; -,ddt!integralSBcdot dA, ointpartial SBcdot dell = mu0integralSJcdot dA + mu0varepsilon0,ddt!integralSEcdot dA
Densidade de energia eletromagnética:
boxedu = tfrac12,varepsilon0,|E|^2 + tfrac12mu0,|B|^2
Força de Lorentz (para carga boxedF = q,E + q,vtimesB e velocidade ):

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