Considerando o vácuo, mas na presença de fontes: escreva as Equações de Maxwell na forma integral em termos dos campos e das densidades de carga e corrente; escreva a expressão para a densidade de energia eletromagnética; escreva a expressão para a Força de Lorentz.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede três coisas de eletromagnetismo clássico:
- As quatro Equações de Maxwell na forma integral (considerando vácuo, mas com densidade de carga ρ e densidade de corrente J).
- A expressão da densidade de energia eletromagnética.
- A expressão da Força de Lorentz.
Para resolver, a gente vai precisar lembrar das leis de Gauss para campo elétrico e magnético, da lei de Faraday, da lei de Ampère–Maxwell e também da definição de energia no campo eletromagnético e da força que um campo exerce sobre cargas. Vou explicar cada pedacinho na boa, sem pular etapas.
Passo 2
Equações de Maxwell em forma integral (vácuo + fontes)
-
Lei de Gauss para o campo elétrico:
A gente imagina uma superfície fechadaque envolve um volume . A lei diz que o fluxo do campo elétrico saindo dessa superfície é igual à carga total dentro dividida por . Em LaTeX: Isso vem da lei de Coulomb generalizada para distribuições contínuas de carga. -
Lei de Gauss para o campo magnético:
Não existem “monopolos” magnéticos, então o fluxo de B por qualquer superfície fechada é zero: -
Lei de Faraday (indução):
A variação no tempo do fluxo de B através de uma superfície abertagera uma força eletromotriz ao longo da borda . Em integral: -
Lei de Ampère–Maxwell:
A circulação de B ao longo do contornoé associada à corrente que passa por mais a taxa de variação do fluxo de E (corrente de deslocamento):
Passo 3
Densidade de energia eletromagnética
A energia armazenada nos campos E e B por unidade de volume é a soma das energias elétrica e magnética. A teoria (vem do teorema de Poynting) dá:
A energia armazenada nos campos E e B por unidade de volume é a soma das energias elétrica e magnética. A teoria (vem do teorema de Poynting) dá:
Aqui
é a permissividade do vácuo e
a permeabilidade do vácuo. Essa fórmula mostra quanto de energia o campo guarda naquele pedacinho de espaço.
Passo 4
Força de Lorentz
Quando uma carga se move com velocidade
num campo elétrico E e magnético B, ela sofre a força:
Quando uma carga
Se você quiser a forma densidade de força (por volume), substitui
por densidade de carga
e define densidade de corrente
, chegando em
Resposta
Maxwell em forma integral (vácuo + fontes):
Densidade de energia eletromagnética:
Força de Lorentz (para carga
e velocidade
):