1. Considerando \vec{F}=\nabla u na Fórmula de Gauss, sendo u de classe C^{2}, deduza a relação:
\iint_{D} \Delta u d x d y=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial \vec{\eta}} d s
  1. Com auxílio da Regra do Produto para derivação, obtenha a seguinte propriedade para o divergente:
\nabla \cdot(v \nabla u)=v \Delta u+\nabla u \cdot \nabla v .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Usar a Fórmula de Gauss (teorema da divergência em 2D) para o campo \vec F=\nabla u e mostrar que
\iint_{D}\Delta u\,dx\,dy=\oint_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial\vec\eta}\,ds.
Aqui vamos precisar de: definição de divergência, de laplaciano \Delta u=\nabla\cdot\nabla u, e da forma da condição de contorno \vec F\cdot\vec\eta=\partial u/\partial\vec\eta.
2) Aplicar a regra do produto à divergência do campo v\nabla u e chegar em
\nabla\cdot(v\nabla u)=v\,\Delta u+\nabla u\cdot\nabla v.

Passo 2

Aplicamos o teorema da divergência em 2D (Fórmula de Gauss) ao campo \vec F=\nabla u. Esse teorema afirma que, para um domínio D de borda \partial D suave e C^1,
\iint_{D}\nabla\cdot\vec F\,dx\,dy \;=\;\oint_{\partial D}\vec F\cdot\vec\eta\,ds.
Como \vec F=\nabla u, temos
\nabla\cdot\vec F=\nabla\cdot(\nabla u)=\Delta u \quad\text{e}\quad \vec F\cdot\vec\eta=\nabla u\cdot\vec\eta=\frac{\partial u}{\partial\vec\eta}.
Substituindo na Fórmula de Gauss fica
\iint_{D}\Delta u\,dx\,dy =\oint_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial\vec\eta}\,ds.

Passo 3

Para o item 6 usamos a regra do produto para divergência: se f é escalar e \vec A é vetorial, então
\nabla\cdot\bigl(f\,\vec A\bigr) =\nabla f\cdot \vec A+f\,\nabla\cdot\vec A.
Tomando f=v e \vec A=\nabla u, obtemos
\nabla\cdot\bigl(v\,\nabla u\bigr) =\nabla v\cdot\nabla u +v\,\nabla\cdot(\nabla u) =\nabla u\cdot\nabla v+v\,\Delta u.

Resposta

\iint_{D}\Delta u\,dx\,dy =\oint_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial\vec\eta}\,ds.
\nabla\cdot(v\nabla u)=v\,\Delta u+\nabla u\cdot\nabla v.

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