- Considerando
na Fórmula de Gauss, sendo
de classe
, deduza a relação:
- Com auxílio da Regra do Produto para derivação, obtenha a seguinte propriedade para o divergente:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Usar a Fórmula de Gauss (teorema da divergência em 2D) para o campo
e mostrar que
Aqui vamos precisar de: definição de divergência, de laplaciano
, e da forma da condição de contorno
.
2) Aplicar a regra do produto à divergência do campo e chegar em
2) Aplicar a regra do produto à divergência do campo
Passo 2
Aplicamos o teorema da divergência em 2D (Fórmula de Gauss) ao campo
. Esse teorema afirma que, para um domínio
de borda
suave e
,
Como
, temos
Substituindo na Fórmula de Gauss fica
Passo 3
Para o item 6 usamos a regra do produto para divergência: se
é escalar e
é vetorial, então
Tomando
e
, obtemos