Verifique o Teorema da Divergência de Gauss, no plano
, para os seguintes dados:
(a)
é a região delimitada por
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência de Gauss no plano
para o campo
e a região
limitada pela curva
Vamos mostrar que
Passo 2
Calcular a divergência do campo:
Como
em toda a região
, temos
Passo 3
Usamos a fórmula de fluxo na fronteira em termos de contorno:
onde
e
. Para parametrizar
(a astroide), tomamos
Então
Passo 4
Substituindo na integral de linha,
Cada termo é função ímpar de
ou
sobre um período completo, portanto a integral é zero:
Resposta
Os dois lados do Teorema da Divergência são iguais a zero, logo o teorema se verifica para este campo e esta região.