Verifique o Teorema da Divergência de Gauss, no plano x y, para os seguintes dados:
(a) \vec{F}(x, y)=3 y \vec{i}-2 x \vec{j} ; \quad D é a região delimitada por x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o Teorema da Divergência de Gauss no plano (x,y) para o campo
\vec F(x,y) = 3y\,\vec i \;-\;2x\,\vec j
e a região D limitada pela curva
x^{2/3} + y^{2/3} = 1.
Vamos mostrar que
\iint_{D} \bigl(\nabla\cdot\vec F\bigr)\,dA \;=\;\oint_{\partial D}\vec F\cdot\vec n\,ds.

Passo 2

Calcular a divergência do campo:
\nabla\cdot\vec F =\frac{\partial}{\partial x}(3y)\;+\;\frac{\partial}{\partial y}(-2x) =0+0 =0.
Como \nabla\cdot\vec F=0 em toda a região D, temos
\iint_{D} \bigl(\nabla\cdot\vec F\bigr)\,dA = \iint_{D} 0\,dA = 0.

Passo 3

Usamos a fórmula de fluxo na fronteira em termos de contorno:
\oint_{\partial D}\vec F\cdot\vec n\,ds =\oint_{\partial D} \bigl(P\,dy - Q\,dx\bigr),
onde P=3y e Q=-2x. Para parametrizar \partial D (a astroide), tomamos
x=\cos^3t,\quad y=\sin^3t, \quad t\in[0,2\pi].
Então
dx=-3\cos^2t\sin t\,dt,\quad dy=3\sin^2t\cos t\,dt.

Passo 4

Substituindo na integral de linha,
\oint_{\partial D}P\,dy - Q\,dx =\int_{0}^{2\pi}\Bigl(3y\,dy +2x\,dx\Bigr) =\int_{0}^{2\pi}\Bigl( 3\sin^3t\,(3\sin^2t\cos t) \;+\;2\cos^3t\,(-3\cos^2t\sin t) \Bigr)\,dt
=\int_{0}^{2\pi}\bigl(9\sin^5t\cos t -6\cos^5t\sin t\bigr)\,dt.
Cada termo é função ímpar de \sin t ou \cos t sobre um período completo, portanto a integral é zero:
\oint_{\partial D}\vec F\cdot\vec n\,ds = 0.

Resposta

Os dois lados do Teorema da Divergência são iguais a zero, logo o teorema se verifica para este campo e esta região.

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