Esboce o gráfico de cada curva dada abaixo, indicando a orientação positiva.
\vec{r}(t)=t \vec{i}+\sqrt{1-t^{2}} \vec{j}, \quad 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \displaystyle \vec r(t)=t\,\vec i+\sqrt{1-t^{2}}\,\vec j, com 0\le t\le1.
Estamos em \mathbb R^2 e vamos esboçar o lugar geométrico dos pontos \bigl(x(t),y(t)\bigr) e indicar o sentido em que o ponto corre quando t cresce.

Passo 2

Identificamos as componentes
x(t)=t,\quad y(t)=\sqrt{1-t^{2}}.
Elevando ao quadrado e somando, obtemos
x(t)^{2}+y(t)^{2} =t^{2}+\bigl(\sqrt{1-t^{2}}\bigr)^{2} =t^{2}+(1-t^{2}) =1.
Logo a curva está contida no círculo unitário x^{2}+y^{2}=1. Como y(t)=\sqrt{1-t^{2}}\ge0, trata-se do arco superior.

Passo 3

Analisamos os extremos de t:
  • Para t=0, \vec r(0)=(0,\sqrt1)=(0,1).
  • Para t=1, \vec r(1)=(1,\sqrt{0})=(1,0).
    À medida que t cresce de 0 a 1, x aumenta de 0 a 1 e y diminui de 1 a 0. Portanto o sentido da curva é do ponto (0,1) em direção a (1,0).

Passo 4

No esboço, traçamos o primeiro quadrante do círculo de raio 1, desde (0,1) até (1,0). Colocamos uma seta sobre esse arco apontando para a direita e para baixo, mostrando que o parâmetro t cresce nesse sentido.

Resposta

O gráfico é o arco do círculo x^{2}+y^{2}=1 no primeiro quadrante, indo de (0,1) a (1,0) com seta indicando o sentido de (0,1) para (1,0).

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