Considerando que o vetor de estado esteja disponível para realimentação, é possível projetar um controlador por realimentação de estado que aloca os polos arbitrariamente? Prove.
Passo 1
Beleza, então o exercício está perguntando: “Se a gente consegue medir (ou conhecer) todo o vetor de estado de um sistema linear, dá para escolher qualquer conjunto de polos que a gente quiser usando realimentação de estado? Prove isso.”
Conteúdo: controle em espaço de estados, realimentação de estado e alocação de polos.
O que vamos precisar:
Definição de controlabilidade.
Forma canônica (companheira) e mudança de base.
Relação entre característica de um sistema e realimentação de estado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é controlabilidade.
Um sistema é controlável se, a partir de um estado inicial qualquer , existe um sinal de entrada que leva o sistema a qualquer outro estado em tempo finito.
A condição algébrica prática é que a matriz de controlabilidade
tenha posto (onde é a dimensão de ).
Passo 3
Agora, saiba que se é controlável, sempre podemos fazer uma mudança de base que leva o sistema para a forma companheira:
onde
Os são os coeficientes do polinômio característico de :
Passo 4
Na forma companheira, se a gente usar realimentação de estado Kc = k0 & k1 & cdots & kn-1, com
Se quisermos um polinômio alvo ki = alphai - ai, i=0,1,dots,n-1
basta escolher
Assim, na forma companheira, a gente aloca exatamente os polos que quiser (raízes do polinômio alvo).
Passo 6
Por fim, voltamos à base original: como K = Kc,T^-1 , e , o ganho na base original é
Isso mostra que dado qualquer conjunto de polos (isto é, qualquer polinômio desejado de grau ), se for controlável, existe um tal que os polos de sejam exatamente os escolhidos.
Resposta
Sim, desde que o par seja controlável (isto é, a matriz tenha posto ), podemos alocar arbitrariamente os polos via realimentação de estado. A prova se baseia na transformação para a forma companheira, onde o realimentador ajusta diretamente os coeficientes do polinômio característico, e depois volta-se à base original.