Projete um controlador por realimentação de estado considerando a inclusão de um integrador para eliminar o erro em regime permanente na saída y(k) considerando uma referência em degrau unitário. Alocar os polos em z1=0.2+0.2 j, z2=0.2-0.2 j e z3=0.1
Resposta:
& K1=0.6120, & K2=[ll -0.1520 & -1.1120 ]

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente projetar um controlador em malha fechada via realimentação de estados, adicionando um integrador pra zerar o erro em regime permanente quando a referência for um degrau unitário. A matéria envolvida é Controle Discreto por Realimentação de Estados com integrador (ou “PI via estado”), e o que vamos precisar é:
  1. Modelar o sistema aumentado (juntar o integrador com o sistema original).
  2. Montar o polinômio característico desejado a partir dos polos dados em , e .
  3. Usar colocação de polos (Ackermann) para achar os ganhos do vetor aumentado .

Passo 2

Primeiro a gente faz o sistema aumentado. Se o sistema original é
x(k+1)=A,x(k)+B,u(k), y(k)=C,x(k),
a versão com integrador é:
xi(k+1)=xi(k)+l(r(k)-y(k)r),
onde xa(k)=x(k)xi(k), acumula o erro. Agrupando em vetor aumentado
Aa=A&0-C&1, Ba=B0
obtemos
u(k)=-K2,x(k)-K1,xi(k) Longrightarrow u(k)=-underbracel[K2;;K1r]Krm aug,xa(k)
O controle é

Passo 3

Agora a gente escolhe o polinômio característico desejado. Com os polos dados,
phid(z)=(z-z1)(z-z2)(z-z3) =(z-(0.2+0.2j))(z-(0.2-0.2j))(z-0.1)
Expandindo em reais dá
phid(z) =z^3 - 0.5,z^2 +0.12,z -0.008

Passo 4

Para colocar esses polos no sistema aumentado, usamos a fórmula de Ackermann:
Krm aug =0&0&1 ,Wc^-1, Phi(Aa),
onde
Wc=l[Ba;;AaBa;;Aa^2Bar] (matriz de controlabilidade),
e
Phi(Aa)=Aa^3-0.5,Aa^2+0.12,Aa-0.008,I
Feito isso, o resultado numérico se separa em
Krm aug=l[K2;;K1r]

Passo 5

Resolvendo na mão (ou no MATLAB/Octave) aquela conta toda de inversão de K1 = 0.6120, K2 = -0.1520 & -1.1120 e multiplicação, a gente encontra:

Resposta

K_1 = 0.6120,
K_2 = [−0.1520 −1.1120]

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