Supondo que a equação da saída para o sistema seja dada por
É possível projetar um controlador a partir da realimentação da saída (supondo que nem todas as variáveis de estado estão disponíveis para realimentação)? Como isso pode ser feito? Prove que é possível.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos um sistema discreto cuja saída é
y(k)=l[0;;1;;0r]x1(k)x2(k)x3(k)
Ou seja, só medimos a componente x2. A pergunta é: “Consigo projetar um controlador usando só essa saída, sem ter todas as variáveis de estado disponíveis?”
Conteúdo da matéria: sistemas lineares discretos, observabilidade, projetor de estado (observador de Luenberger) e princípio da separação.
O que vamos precisar:
1. Mostrar que o par é observável.
2. Construir um observador de estados (Luenberger).
3. Projetar ganha de realimentação de estado completo .
4. Aplicar o princípio da separação para concluir que é possível usar só .
Passo 2
Teoria de observabilidade e verificação
Colete as matrizes do sistema em forma canônica de controle (por exemplo)A=0&1&00&0&1-a0&-a1&-a2, B=001, C=0&1&0
Forme a matriz de observabilidadeO= C C,A C,A^2 = 0&1&0 0&0&1 -a0&-a1&-a2
Calcule o determinante de detO =det 0&1&0 0&0&1 -a0&-a1&-a2 =-a0 :Se , então e tem posto 3 ⇒ o sistema é observável.
Passo 3
Construção do observador e realimentação total
Como hat x(k+1) =A,hat x(k)+B,u(k) +Ll(y(k)-C,hat x(k)r) é observável, podemos escolher um ganho e(k+1)=(A-L,C),e(k) para o observador de Luenberger:
u(k)=-K,hat x(k),
O erro de estimação evolui segundo
Escolhemos para que tenha polos estáveis (modulo <1).
Projetamos também um ganho de estado completo para a realimentação
de modo que tenha os polos desejados.
Passo 4
Princípio da separação
Quando você junta o observador e a realimentação em malha fechada, a matriz de dinâmica ampliada fica em forma triangular em blocos:
A-BK & BK 0 & A-LC ,
cujos autovalores são a união dos de e de . Logo, podemos fixar independentemente os polos do controlador e do observador — isto é o princípio da separação.
Resposta
Sim, dá para projetar um controlador usando só a saída . Basta:
Verificar que é observável (det);
Projetar um observador de Luenberger ;
Projetar uma realimentação de estado completa ;
Aplicar o princípio da separação para garantir estabilidade conjunta.