Supondo que a equação da saída para o sistema seja dada por
y(k)=[lll 0 & 1 & 0 ][l x1(k) x2(k) x3(k) ]
É possível projetar um controlador a partir da realimentação da saída (supondo que nem todas as variáveis de estado estão disponíveis para realimentação)? Como isso pode ser feito? Prove que é possível.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um sistema discreto cuja saída é
y(k)=l[0;;1;;0r]x1(k)x2(k)x3(k)
Ou seja, só medimos a componente x2. A pergunta é: “Consigo projetar um controlador usando só essa saída, sem ter todas as variáveis de estado disponíveis?”
Conteúdo da matéria: sistemas lineares discretos, observabilidade, projetor de estado (observador de Luenberger) e princípio da separação.
O que vamos precisar:
1. Mostrar que o par é observável.
2. Construir um observador de estados (Luenberger).
3. Projetar ganha de realimentação de estado completo .
4. Aplicar o princípio da separação para concluir que é possível usar só .

Passo 2

Teoria de observabilidade e verificação
  1. Colete as matrizes do sistema em forma canônica de controle (por exemplo) A=0&1&00&0&1-a0&-a1&-a2, B=001, C=0&1&0
  2. Forme a matriz de observabilidade O= C C,A C,A^2 = 0&1&0 0&0&1 -a0&-a1&-a2
  3. Calcule o determinante de detO =det 0&1&0 0&0&1 -a0&-a1&-a2 =-a0 : Se , então e tem posto 3 ⇒ o sistema é observável.

Passo 3

Construção do observador e realimentação total
  1. Como hat x(k+1) =A,hat x(k)+B,u(k) +Ll(y(k)-C,hat x(k)r) é observável, podemos escolher um ganho e(k+1)=(A-L,C),e(k) para o observador de Luenberger:
    u(k)=-K,hat x(k),
    O erro de estimação evolui segundo
    Escolhemos para que tenha polos estáveis (modulo <1).
  2. Projetamos também um ganho de estado completo para a realimentação
    de modo que tenha os polos desejados.

Passo 4

Princípio da separação
Quando você junta o observador e a realimentação em malha fechada, a matriz de dinâmica ampliada fica em forma triangular em blocos:
A-BK & BK 0 & A-LC ,
cujos autovalores são a união dos de e de . Logo, podemos fixar independentemente os polos do controlador e do observador — isto é o princípio da separação.

Resposta

Sim, dá para projetar um controlador usando só a saída . Basta:
  1. Verificar que é observável (det );
  2. Projetar um observador de Luenberger ;
  3. Projetar uma realimentação de estado completa ;
  4. Aplicar o princípio da separação para garantir estabilidade conjunta.

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