Considerando o vetor
, tem-se:
, achar:
Passo 1
O enunciado pede calcular a derivada parcial de segunda ordem de
em relação a
, ou seja
. O vetor dado é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A tarefa é tomar duas derivadas parciais em relação a
— isto deve ser feito componente a componente.
Passo 2
Lembrete didático rápido: para um campo vetorial
a derivada parcial de segunda ordem em
é feita componente a componente:
Ou seja, vou calcular
,
e
separadamente.
Passo 3
Regras de derivação utilizadas (explicadas de forma simples):
- Regra do fator constante: se
não depende de , . - Regra do poder (power rule):
. - Regra do produto:
. - Regra da cadeia para exponencial:
. - Para derivadas parciais, quando derivamos em relação a
tratamos como constante.
Vou aplicar essas regras a cada componente.
Passo 4
Cálculo para a componente
, onde
.
Primeira derivada parcial em
:
Como
é constante,
.
E .
Logo
E
Logo
Segunda derivada parcial em
:
Derivando termo a termo:
e
.
Portanto
Portanto
Passo 5
Cálculo para a componente
, onde
.
Primeira derivada parcial em
:
Para
usamos regra da cadeia: a função interna é
, e
. Assim
.
Para ,
é constante, então
.
Com o sinal negativo:
Para
Com o sinal negativo:
Segunda derivada parcial em
:
Derivando o primeiro termo:
é constante, então
.
Derivando o segundo termo: .
Somando:
Derivando o segundo termo:
Somando:
Passo 6
Cálculo para a componente
, onde
.
Primeira derivada parcial em
:
Aqui
é constante (derivamos em relação a
), então
.
Segunda derivada parcial em
:
pois
continua sendo constante.
Passo 7
Agora montamos o vetor com as segundas derivadas de cada componente: