Considerando o vetor \mathbf{A}, tem-se:
\vec{A}=\left(2 x^{2} y-x^{4}\right) \hat{i}+\left(e^{x y}-y \operatorname{sen} x\right) \hat{j}+\left(x^{2} \cos y\right) \hat{k}, achar:
\frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a derivada parcial de segunda ordem de \vec{A} em relação a x, ou seja \dfrac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial x^{2}}. O vetor dado é
\vec{A}=\left(2 x^{2} y-x^{4}\right)\hat{i}+\left(e^{x y}-y\sin x\right)\hat{j}+\left(x^{2}\cos y\right)\hat{k}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A_x(x,y)=2x^{2}y-x^{4},\qquad A_y(x,y)=e^{xy}-y\sin x,\qquad A_z(x,y)=x^{2}\cos y.
A tarefa é tomar duas derivadas parciais em relação a x — isto deve ser feito componente a componente.

Passo 2

Lembrete didático rápido: para um campo vetorial \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) a derivada parcial de segunda ordem em x é feita componente a componente:
\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial x^{2}}=\left(\frac{\partial^{2}A_x}{\partial x^{2}}\right)\hat{i}+\left(\frac{\partial^{2}A_y}{\partial x^{2}}\right)\hat{j}+\left(\frac{\partial^{2}A_z}{\partial x^{2}}\right)\hat{k}.
Ou seja, vou calcular \dfrac{\partial^{2}A_x}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2}A_y}{\partial x^{2}} e \dfrac{\partial^{2}A_z}{\partial x^{2}} separadamente.

Passo 3

Regras de derivação utilizadas (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante: se c não depende de x, \dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot f(x))=c\cdot f'(x).
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
  • Regra da cadeia para exponencial: \dfrac{\partial}{\partial x}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}.
  • Para derivadas parciais, quando derivamos em relação a x tratamos y como constante.
Vou aplicar essas regras a cada componente.

Passo 4

Cálculo para a componente i, onde A_x=2x^{2}y-x^{4}.
Primeira derivada parcial em x:
\frac{\partial A_x}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y)-\frac{\partial}{\partial x}(x^{4}).
Como y é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(2x^{2}y)=2y\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2y\cdot 2x=4xy.
E \dfrac{d}{dx}(x^{4})=4x^{3}.
Logo
\frac{\partial A_x}{\partial x}=4xy-4x^{3}.
Segunda derivada parcial em x:
\frac{\partial^{2} A_x}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}(4xy-4x^{3}).
Derivando termo a termo: \dfrac{\partial}{\partial x}(4xy)=4y e \dfrac{\partial}{\partial x}(-4x^{3})=-12x^{2}.
Portanto
\frac{\partial^{2} A_x}{\partial x^{2}}=4y-12x^{2}.

Passo 5

Cálculo para a componente j, onde A_y=e^{xy}-y\sin x.
Primeira derivada parcial em x:
\frac{\partial A_y}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x} e^{xy}-\frac{\partial}{\partial x}(y\sin x).
Para e^{xy} usamos regra da cadeia: a função interna é g(x)=xy, e \dfrac{\partial g}{\partial x}=y. Assim \dfrac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}.
Para y\sin x, y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y\sin x)=y\cos x.
Com o sinal negativo:
\frac{\partial A_y}{\partial x}=y e^{xy}-y\cos x.
Segunda derivada parcial em x:
\frac{\partial^{2} A_y}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\big(y e^{xy}-y\cos x\big).
Derivando o primeiro termo: y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(y e^{xy})=y\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y\cdot (y e^{xy})=y^{2}e^{xy}.
Derivando o segundo termo: \dfrac{\partial}{\partial x}(-y\cos x)=-y(-\sin x)=y\sin x.
Somando:
\frac{\partial^{2} A_y}{\partial x^{2}}=y^{2}e^{xy}+y\sin x.

Passo 6

Cálculo para a componente k, onde A_z=x^{2}\cos y.
Primeira derivada parcial em x:
\frac{\partial A_z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}\cos y).
Aqui \cos y é constante (derivamos em relação a x), então \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}\cos y)=\cos y\cdot \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x\cos y.
Segunda derivada parcial em x:
\frac{\partial^{2} A_z}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}(2x\cos y)=2\cos y,
pois \cos y continua sendo constante.

Passo 7

Agora montamos o vetor com as segundas derivadas de cada componente:
\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial x^{2}}=\big(4y-12x^{2}\big)\hat{i}+\big(y^{2}e^{xy}+y\sin x\big)\hat{j}+\big(2\cos y\big)\hat{k}.

Resposta

\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial x^{2}}=\left(4y-12x^{2}\right)\hat{i}+\left(y^{2}e^{xy}+y\sin x\right)\hat{j}+\left(2\cos y\right)\hat{k}

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