Considerando o vetor \mathbf{A}, tem-se:
\vec{A}=\left(2 x^{2} y-x^{4}\right) \hat{i}+\left(e^{x y}-y \operatorname{sen} x\right) \hat{j}+\left(x^{2} \cos y\right) \hat{k}, achar:
\frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial x \partial y}

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{A}=\left(2 x^{2} y-x^{4}\right)\hat{i}+\left(e^{x y}-y\operatorname{sen} x\right)\hat{j}+\left(x^{2}\cos y\right)\hat{k}
e pede para calcular
\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial x\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{componente em } \hat{i}:\; A_x=2x^{2}y-x^{4},\\\ &\text{componente em } \hat{j}:\; A_y=e^{xy}-y\operatorname{sen} x,\\\ &\text{componente em } \hat{k}:\; A_z=x^{2}\cos y. \end{aligned}
Não há ambiguidade no enunciado quanto às componentes; vamos proceder componente a componente.

Passo 2

Interpretação da notação e método: por convenção usual
\frac{\partial^{2}}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial}{\partial y}\right),
ou seja, primeiro derivamos em relação a y cada componente de \vec{A} e depois derivamos o resultado em relação a x. Esse procedimento é conveniente porque a derivada parcial de um vetor é feita componente a componente.

Passo 3

Revisão de regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática curta):
  • Derivada parcial de um polinômio: \partial (x^{n}y)/\partial y = x^{n} tratando x como constante.
  • Regra do produto: \partial (u v)/\partial x = u'\!_x v + u v'\!_x.
  • Regra da cadeia para exponencial: \partial e^{g(x,y)}/\partial x = (\partial g/\partial x)\, e^{g(x,y)}.
  • Derivadas básicas: \partial(\operatorname{sen} x)/\partial x=\cos x, \partial(\cos y)/\partial y=-\operatorname{sen} y.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Calcular primeiro \displaystyle \frac{\partial \vec{A}}{\partial y} componente a componente.
Componente \hat{i}: \displaystyle A_x=2x^{2}y-x^{4}. Derivando em relação a y, x é constante, então
\frac{\partial A_x}{\partial y}=2x^{2}.
Componente \hat{j}: \displaystyle A_y=e^{xy}-y\operatorname{sen} x.
  • Para e^{xy}: a função dentro do expoente é g(x,y)=xy. Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=\frac{\partial (xy)}{\partial y}\,e^{xy}=x\,e^{xy}.
  • Para -y\operatorname{sen} x: \operatorname{sen} x é constante em relação a y, então
\frac{\partial}{\partial y}(-y\operatorname{sen} x)=-\operatorname{sen} x.
Somando as duas contribuições,
\frac{\partial A_y}{\partial y}=x e^{xy}-\operatorname{sen} x.
Componente \hat{k}: \displaystyle A_z=x^{2}\cos y. Aqui x^{2} é constante em relação a y, e \partial(\cos y)/\partial y=-\operatorname{sen} y. Logo
\frac{\partial A_z}{\partial y}=-x^{2}\operatorname{sen} y.
Assim obtemos
\frac{\partial \vec{A}}{\partial y}= \left(2x^{2}\right)\hat{i}+\left(x e^{xy}-\operatorname{sen} x\right)\hat{j}+\left(-x^{2}\operatorname{sen} y\right)\hat{k}.

Passo 5

Agora derivamos em relação a x o vetor que achamos em \displaystyle \frac{\partial \vec{A}}{\partial y}. Ou seja, calculamos \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial \vec{A}}{\partial y}\right) componente a componente.
Começo pela componente \hat{i}:
\frac{\partial}{\partial x}\left(2x^{2}\right)=4x,
pois derivada de 2x^{2} em x é 4x.

Passo 6

Componente \hat{j}: precisamos derivar \displaystyle x e^{xy}-\operatorname{sen} x em relação a x.
Para x e^{xy} usamos a regra do produto: seja u(x)=x e v(x)=e^{xy} (lembrando que y é tratado como constante ao derivar em x):
\frac{\partial}{\partial x}\left(x e^{xy}\right)=\frac{d}{dx}(x)\cdot e^{xy}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{xy}\right)=1\cdot e^{xy}+x\cdot\big(y e^{xy}\big).
Aqui usei a regra da cadeia para \partial e^{xy}/\partial x = y e^{xy}.
Somando os termos:
\frac{\partial}{\partial x}\left(x e^{xy}\right)=e^{xy}+x y e^{xy}=(1+xy)e^{xy}.
Agora a derivada de -\operatorname{sen} x em relação a x é -\cos x.
Portanto a componente \hat{j} da derivada mista é
(1+xy)e^{xy}-\cos x.

Passo 7

Componente \hat{k}: derivamos -x^{2}\operatorname{sen} y em relação a x. Aqui \operatorname{sen} y é constante (derivamos em x), então
\frac{\partial}{\partial x}\left(-x^{2}\operatorname{sen} y\right)=-2x\operatorname{sen} y.

Passo 8

Juntando todas as componentes que obtivemos, a derivada mista é
\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial x\partial y}= \left(4x\right)\hat{i}+\left((1+xy)e^{xy}-\cos x\right)\hat{j}+\left(-2x\operatorname{sen} y\right)\hat{k}.

Resposta

\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial x\partial y}=4x\,\hat{i}+\bigl((1+xy)e^{xy}-\cos x\bigr)\,\hat{j}-2x\operatorname{sen} y\,\hat{k}

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