Considerando o vetor
, tem-se:
, achar:
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para calcular
Informações relevantes fornecidas:
Não há ambiguidade no enunciado quanto às componentes; vamos proceder componente a componente.
Passo 2
Interpretação da notação e método: por convenção usual
ou seja, primeiro derivamos em relação a
cada componente de
e depois derivamos o resultado em relação a
. Esse procedimento é conveniente porque a derivada parcial de um vetor é feita componente a componente.
Passo 3
Revisão de regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática curta):
- Derivada parcial de um polinômio:
tratando como constante. - Regra do produto:
. - Regra da cadeia para exponencial:
. - Derivadas básicas:
, .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Calcular primeiro
componente a componente.
Componente
:
. Derivando em relação a
,
é constante, então
Componente
:
.
- Para
: a função dentro do expoente é . Aplicando a regra da cadeia,
- Para
: é constante em relação a , então
Somando as duas contribuições,
Componente
:
. Aqui
é constante em relação a
, e
. Logo
Assim obtemos
Passo 5
Agora derivamos em relação a
o vetor que achamos em
. Ou seja, calculamos
componente a componente.
Começo pela componente
:
pois derivada de
em
é
.
Passo 6
Componente
: precisamos derivar
em relação a
.
Para
usamos a regra do produto: seja
e
(lembrando que
é tratado como constante ao derivar em
):
Aqui usei a regra da cadeia para
.
Somando os termos:
Somando os termos:
Agora a derivada de
em relação a
é
.
Portanto a componente
da derivada mista é
Passo 7
Componente
: derivamos
em relação a
. Aqui
é constante (derivamos em
), então
Passo 8
Juntando todas as componentes que obtivemos, a derivada mista é