Considerando o vetor \mathbf{A}, tem-se:
\vec{A}=\left(2 x^{2} y-x^{4}\right) \hat{i}+\left(e^{x y}-y \operatorname{sen} x\right) \hat{j}+\left(x^{2} \cos y\right) \hat{k}, achar:
\frac{\partial^{2} \vec{A}}{\partial y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\vec{A}=\left(2 x^{2} y-x^{4}\right)\hat{i}+\left(e^{x y}-y\operatorname{sen}x\right)\hat{j}+\left(x^{2}\cos y\right)\hat{k}
e pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a y, isto é \dfrac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial y^{2}}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A componente em \hat{i} é 2 x^{2} y-x^{4}.
  • A componente em \hat{j} é e^{x y}-y\operatorname{sen}x.
  • A componente em \hat{k} é x^{2}\cos y.
  • O parâmetros x e y são variáveis e, ao derivarmos em relação a y, devemos tratar x como constante.

Passo 2

Conceito e estratégia: a derivada parcial de um vetor em relação a uma variável é feita componente por componente. Ou seja,
\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial y^{2}}= \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(A_x\big)\hat{i}+ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(A_y\big)\hat{j}+ \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(A_z\big)\hat{k},
onde A_x, A_y e A_z são as componentes escalares. Vou primeiro calcular \dfrac{\partial}{\partial y} de cada componente e em seguida derivar novamente em y. Regras que vamos usar (lembretes): a derivada é linear; constantes multiplicativas saem da derivada; \dfrac{d}{dy}e^{x y}=x e^{x y} (pois x é constante) e \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y, \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y. A função \sin x depende só de x, logo \dfrac{\partial}{\partial y}\sin x=0.

Passo 3

Derivada primeira em relação a y da componente em \hat{i}:
A componente é A_x=2x^{2}y-x^{4}.
Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(2x^{2}y-x^{4}\big)=2x^{2}-0=2x^{2}.
Explanação: 2x^{2}y é produto de 2x^{2} (constante em relação a y) por y, então a derivada é 2x^{2}. O termo -x^{4} não depende de y, então sua derivada é zero.

Passo 4

Derivada segunda em y da componente em \hat{i}:
A primeira derivada em y que encontramos é 2x^{2}. Derivando novamente em y:
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(2x^{2}y-x^{4}\big)=\frac{\partial}{\partial y}(2x^{2})=0.
Explanação: 2x^{2} é constante em relação a y, então sua derivada em y é zero. Concluímos que a componente \hat{i} da segunda derivada é 0.

Passo 5

Derivada primeira em y da componente em \hat{j}:
A componente é A_y=e^{x y}-y\sin x (substituí \operatorname{sen}x por \sin x na notação).
Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y}-y\sin x\big)=x e^{x y}-\sin x.
Explanação: para e^{x y} usamos a regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial y}e^{x y}=e^{x y}\cdot \dfrac{\partial}{\partial y}(x y)=e^{x y}\cdot x. Para -y\sin x, \sin x é constante em relação a y, então a derivada é -\sin x.

Passo 6

Derivada segunda em y da componente em \hat{j}:
Agora derivamos x e^{x y}-\sin x em relação a y:
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(e^{x y}-y\sin x\big) =\frac{\partial}{\partial y}\big(x e^{x y}-\sin x\big) = x\cdot \frac{\partial}{\partial y}e^{x y}-0 = x\cdot (x e^{x y})=x^{2}e^{x y}.
Explanação: -\sin x é constante em y, então some zero. A derivada de x e^{x y} em y é x vezes a derivada de e^{x y}, que é x e^{x y}, dando x^{2}e^{x y}.

Passo 7

Derivada primeira em y da componente em \hat{k}:
A componente é A_z=x^{2}\cos y.
Derivando em y:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\cos y\big)=x^{2}\cdot(-\sin y)=-x^{2}\sin y.
Explanação: x^{2} é constante em relação a y; a derivada de \cos y é -\sin y.

Passo 8

Derivada segunda em y da componente em \hat{k}:
Derivando -x^{2}\sin y em relação a y:
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\big(x^{2}\cos y\big) =\frac{\partial}{\partial y}\big(-x^{2}\sin y\big) =-x^{2}\cos y.
Explanação: a derivada de \sin y é \cos y, então \dfrac{d}{dy}(-x^{2}\sin y)=-x^{2}\cos y.

Passo 9

Juntando todas as componentes (resultado final):
\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial y^{2}}= 0\cdot\hat{i}+x^{2}e^{x y}\hat{j}-x^{2}\cos y\;\hat{k}.
Podemos escrever de forma mais limpa omitindo o zero:
\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial y^{2}}=x^{2}e^{x y}\hat{j}-x^{2}\cos y\;\hat{k}.

Resposta

\frac{\partial^{2}\vec{A}}{\partial y^{2}}=0\hat{i}+x^{2}e^{x y}\hat{j}-x^{2}\cos y\;\hat{k}.

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