Considerando o vetor
, tem-se:
, achar:
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede para calcular a derivada parcial de segunda ordem em relação a
, isto é
.
Informações relevantes do enunciado:
- A componente em
é . - A componente em
é . - A componente em
é . - O parâmetros
e são variáveis e, ao derivarmos em relação a , devemos tratar como constante.
Passo 2
Conceito e estratégia: a derivada parcial de um vetor em relação a uma variável é feita componente por componente. Ou seja,
onde
,
e
são as componentes escalares. Vou primeiro calcular
de cada componente e em seguida derivar novamente em
. Regras que vamos usar (lembretes): a derivada é linear; constantes multiplicativas saem da derivada;
(pois
é constante) e
,
. A função
depende só de
, logo
.
Passo 3
Derivada primeira em relação a
da componente em
:
A componente é .
Derivando em :
A componente é
Derivando em
Explanação:
é produto de
(constante em relação a
) por
, então a derivada é
. O termo
não depende de
, então sua derivada é zero.
Passo 4
Derivada segunda em
da componente em
:
A primeira derivada em que encontramos é
. Derivando novamente em
:
A primeira derivada em
Explanação:
é constante em relação a
, então sua derivada em
é zero. Concluímos que a componente
da segunda derivada é
.
Passo 5
Derivada primeira em
da componente em
:
A componente é (substituí
por
na notação).
Derivando em :
A componente é
Derivando em
Explanação: para
usamos a regra da cadeia:
. Para
,
é constante em relação a
, então a derivada é
.
Passo 6
Derivada segunda em
da componente em
:
Agora derivamos em relação a
:
Agora derivamos
Explanação:
é constante em
, então some zero. A derivada de
em
é
vezes a derivada de
, que é
, dando
.
Passo 7
Derivada primeira em
da componente em
:
A componente é .
Derivando em :
A componente é
Derivando em
Explanação:
é constante em relação a
; a derivada de
é
.
Passo 8
Derivada segunda em
da componente em
:
Derivando em relação a
:
Derivando
Explanação: a derivada de
é
, então
.
Passo 9
Juntando todas as componentes (resultado final):
Podemos escrever de forma mais limpa omitindo o zero: