Ao considerar x=2.020 e y=2.019, o valor da expressão E=\frac{x^{8}-y^{8}}{x^{6}+x^{4} y^{2}+x^{2} y^{4}+y^{6}} é:
a) 1 .
b) 2019 .
c) 2020 .
d) 4039 .
e) 4040 .

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
E=\frac{x^{8}-y^{8}}{x^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+y^{6}}
quando x=2.020 e y=2.019. As informações relevantes são:
  • A expressão E está dada explicitamente.
  • Os valores numéricos fornecidos são x=2.020 e y=2.019.
    Observação importante: os candidatos nas alternativas são números inteiros grandes ( 2019,2020,4039, etc.), portanto a notação com ponto indica separador de milhares. Assim, aqui vou usar x=2020 e y=2019 (isto é consistente com as alternativas).

Passo 2

Vamos procurar uma simplificação algébrica antes de substituir os números. Uma identidade útil é a fatoração da diferença de potências: para quaisquer A e B e inteiro n\ge1,
A^{n}-B^{n}=(A-B)\bigl(A^{n-1}+A^{n-2}B+\cdots+AB^{n-2}+B^{n-1}\bigr).
Aqui podemos aplicar essa identidade tomando A=x^{2} e B=y^{2} com n=4. Assim:
(x^{2})^{4}-(y^{2})^{4}=(x^{2}-y^{2})\bigl(x^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+y^{6}\bigr).

Passo 3

Observe que (x^{2})^{4}=x^{8} e (y^{2})^{4}=y^{8}, portanto a igualdade do passo anterior é exatamente
x^{8}-y^{8}=(x^{2}-y^{2})\bigl(x^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+y^{6}\bigr).
Isso mostra que o numerador é o produto do termo (x^{2}-y^{2}) pelo denominador da expressão E.

Passo 4

Como o denominador aparece multiplicando (x^{2}-y^{2}) no produto que dá x^{8}-y^{8}, podemos simplificar a fração cancelando o fator comum (desde que o denominador não seja zero, o que não é o caso para x\neq y). Logo:
E=\frac{x^{8}-y^{8}}{x^{6}+x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+y^{6}}=x^{2}-y^{2}.
Agora reduzimos o problema a calcular x^{2}-y^{2}.

Passo 5

Usando a diferença de quadrados, temos
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Substituindo x=2020 e y=2019:
x-y=2020-2019=1, \qquad x+y=2020+2019=4039.
Portanto
x^{2}-y^{2}=(1)\cdot(4039)=4039.

Resposta

d) 4039

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