Ao considerar
e
, o valor da expressão
é:
a) 1 .
b) 2019 .
c) 2020 .
d) 4039 .
e) 4040 .
a) 1 .
b) 2019 .
c) 2020 .
d) 4039 .
e) 4040 .
Passo 1
O enunciado pede o valor da expressão
quando
e
. As informações relevantes são:
- A expressão
está dada explicitamente. - Os valores numéricos fornecidos são
e .
Observação importante: os candidatos nas alternativas são números inteiros grandes (etc.), portanto a notação com ponto indica separador de milhares. Assim, aqui vou usar e (isto é consistente com as alternativas).
Passo 2
Vamos procurar uma simplificação algébrica antes de substituir os números. Uma identidade útil é a fatoração da diferença de potências: para quaisquer
e
e inteiro
,
Aqui podemos aplicar essa identidade tomando
e
com
. Assim:
Passo 3
Observe que
e
, portanto a igualdade do passo anterior é exatamente
Isso mostra que o numerador é o produto do termo
pelo denominador da expressão
.
Passo 4
Como o denominador aparece multiplicando
no produto que dá
, podemos simplificar a fração cancelando o fator comum (desde que o denominador não seja zero, o que não é o caso para
). Logo:
Agora reduzimos o problema a calcular
.
Passo 5
Usando a diferença de quadrados, temos
Substituindo
e
:
Portanto
Resposta
d) 4039