Considerar um circuito RLC em série, com fonte de tensão alternada, com valor eficaz de \mathbf{2 2 0 ~ V}, frequência de \mathbf{6 0 ~ H z} e com as seguintes especificações: \mathbf{R}=\mathbf{7 0 0} ohms ; \mathbf{L}=\mathbf{0 , 4 6 1 ~ H} \quad ; \mathbf{C}=\mathbf{2 , 0 0} \cdot \mathbf{1 0} \mathbf{0}^{-\mathbf{6}} \mathbf{F}
Supor que a tensão alternada em função do tempo seja do tipo:
\varepsilon(t)=\varepsilon_{m} \operatorname{sen} \omega t
E sabendo-se que para essa tensão a corrente é do tipo:
i(t)=i_{m} \operatorname{sen}(\omega t-\Phi)
A) Calcular a frequência angular e o período.
B) Calcular as reatâncias capacitiva e indutiva.
C) Calcular a impedância.
D) Calcular o valor eficaz da corrente.
E) Calcular a constante de fase.
F) Calcular o fator de potência e explicar o seu significado neste caso.
G) Calcular os valores máximos da corrente e da tensão.
H) Escrever a equação da tensão da fonte como função do tempo e a equação da corrente como função do tempo.
I) Em um mesmo diagrama cartesiano represente os gráficos das duas funções anteriores.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado fornece e o que pede. Dados fornecidos:
  • Tensão eficaz da fonte: \,V_{\text{rms}}=220\\ \text{V}.
  • Frequência: \,f=60\\ \text{Hz}.
  • Resistência: \,R=700\\ \Omega.
  • Indutância: \,L=0{,}461\\ \text{H}.
  • Capacitância: \,C=2{,}00\cdot10^{-6}\\ \text{F}.
  • A forma temporal da tensão é \displaystyle \varepsilon(t)=\varepsilon_{m}\sin\omega t.
  • A forma temporal da corrente é \displaystyle i(t)=i_{m}\sin(\omega t-\Phi).
O enunciado pede, em itens:
A) frequência angular e período;
B) reatâncias indutiva e capacitiva;
C) impedância do circuito;
D) valor eficaz da corrente;
E) constante de fase \Phi;
F) fator de potência e seu significado (se é lead/lag e o que implica);
G) valores máximos (amplitudes) da tensão e da corrente;
H) escrever as equações temporais completas com os valores;
I) representar graficamente (no mesmo gráfico) as duas funções e explicar como desenhar.

Passo 2

Calcular a frequência angular \omega e o período T.
Explicação teórica curta e prática:
  • A frequência angular relaciona-se com a frequência por \displaystyle \omega=2\pi f. Aqui \omega tem unidades de rad/s e indica quantos radianos o sinal percorre por segundo.
  • O período é o inverso da frequência: \displaystyle T=\dfrac{1}{f}. O período é o tempo para completar um ciclo.
Cálculo:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \text{rad/s}\approx 376{,}991118\\ \text{rad/s}.
T=\frac{1}{f}=\frac{1}{60}\\ \text{s}\approx 0{,}0166667\\ \text{s}.

Passo 3

Calcular a reatância indutiva \,X_{L}.
Explicação teórica:
  • A reatância indutiva mede a “oposição” ao fluxo de corrente causada por uma indutância em corrente alternada. A fórmula é \displaystyle X_{L}=\omega L. Unidade: ohms.
Cálculo passo a passo:
X_{L}=\omega L=\bigl(376{,}991118\bigr)\cdot 0{,}461\\ \Omega.
Multiplicando:
X_{L}\approx 173{,}7929\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a reatância capacitiva \,X_{C}.
Explicação teórica:
  • A reatância capacitiva mede a oposição ao fluxo de corrente causada por um capacitor em corrente alternada. A fórmula é \displaystyle X_{C}=\frac{1}{\omega C}. Unidade: ohms.
  • Observe que \,X_{C} diminui quando a frequência aumenta.
Cálculo passo a passo:
X_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{(376{,}991118)\cdot(2{,}00\cdot10^{-6})}\\ \Omega.
\omega C \approx 0{,}00075398224\quad\Rightarrow\quad X_{C}\approx 1326{,}291121\\ \Omega.

Passo 5

Calcular a impedância complexa Z e a sua magnitude.
Explicação teórica:
  • Num circuito RLC série a impedância complexa é \displaystyle Z=R+j(X_{L}-X_{C}), onde j é a unidade imaginária.
  • A magnitude (módulo) da impedância, que relaciona tensão eficaz e corrente eficaz, é \displaystyle |Z|=\sqrt{R^{2}+\bigl(X_{L}-X_{C}\bigr)^{2}}.
Cálculo:
Calcular a diferença das reatâncias:
X_{L}-X_{C}=173{,}7929-1326{,}291121\approx -1152{,}498216\\ \Omega.
Agora a magnitude:
|Z|=\sqrt{700^{2}+(-1152{,}498216)^{2}} =\sqrt{490000+1328250{,}861}\approx 1348{,}4262\\ \Omega.
Interpretação prática: o sinal negativo em X_{L}-X_{C} indica que a parte reativa é capacitiva líquida (capacitor “vence” a indutância), portanto o circuito é capacitivo no conjunto.

Passo 6

Calcular o valor eficaz da corrente \,I_{\text{rms}}.
Explicação teórica:
  • Em regime senoidal estacionário, a relação entre tensão eficaz, corrente eficaz e impedância é \displaystyle I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{|Z|}.
Cálculo:
I_{\text{rms}}=\frac{220}{1348{,}4262}\\ \text{A}\approx 0{,}163178\\ \text{A}.

Passo 7

Calcular a constante de fase \Phi (ângulo de fase entre tensão e corrente) e interpretar.
Explicação teórica:
  • Para uma impedância Z=R+jX o ângulo de fase da corrente em relação à tensão é \displaystyle \Phi=\arctan\!\left(\frac{X}{R}\right) onde X=X_{L}-X_{C}.
  • Se \Phi>0 a corrente está em atraso (lagging) em relação à tensão (indutivo). Se \Phi<0 a corrente adianta (leading) a tensão (capacitivo).
Cálculo:
\Phi=\arctan\!\left(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\right) =\arctan\!\left(\frac{-1152{,}498216}{700}\right) =\arctan(-1{,}6464259).
Valor numérico:
\Phi\approx -1{,}0268\\ \text{rad}\approx -58{,}82^\circ.
Interpretação: \Phi<0 indica que a corrente antecipa (lead) a tensão em \,58{,}82^\circ — comportamento dominado pelo capacitor.

Passo 8

Calcular o fator de potência e explicar seu significado aqui.
Explicação teórica:
  • O fator de potência (FP) é \displaystyle \text{FP}=\cos\Phi. Também vale \displaystyle \text{FP}=\frac{R}{|Z|} para circuito série.
  • O fator de potência indica a fração da potência aparente que é efetivamente convertida em potência ativa (real). Vai de -1 a 1; o sinal/ânulo indica se é leading (corrente adiantada) ou lagging (corrente atrasada).
Cálculo:
\text{FP}=\cos\Phi=\frac{R}{|Z|}=\frac{700}{1348{,}4262}\approx 0{,}518984.
Interpretação prática:
  • \text{FP}\approx 0{,}519 (positivo) significa que apenas cerca de 51{,}9\% da potência aparente é potência ativa média consumida na resistência; o restante é potência reativa (que oscila entre fonte e reatâncias).
  • Como \Phi<0, diz-se que o fator de potência é “leading” (a corrente adianta), característico de circuito com reatância capacitiva líquida.

Passo 9

Calcular os valores máximos (amplitudes) da tensão e da corrente.
Explicação teórica:
  • A relação entre valor eficaz e valor máximo (amplitude) para seno é \displaystyle X_{m}=\sqrt{2}\,X_{\text{rms}}.
Cálculo:
Tensão máxima:
\varepsilon_{m}=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}}=\sqrt{2}\cdot 220\\ \text{V}\approx 311{,}1270\\ \text{V}.
Corrente máxima:
i_{m}=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}=\sqrt{2}\cdot 0{,}163178\\ \text{A}\approx 0{,}230800\\ \text{A}.

Passo 10

Escrever as equações temporais completas com os valores numéricos obtidos.
Observações:
  • A forma dada no enunciado é \varepsilon(t)=\varepsilon_{m}\sin\omega t e i(t)=i_{m}\sin(\omega t-\Phi).
  • Como \Phi é negativo, a expressão i(t)=i_{m}\sin(\omega t-\Phi) fica numericamente como i_{m}\sin(\omega t + |\Phi|), o que mostra o adiantamento da corrente.
Substituindo os valores:
\varepsilon(t)\approx 311{,}127\\ \sin\!\bigl(376{,}9911\,t\bigr)\\ \text{V}.
i(t)\approx 0{,}230800\\ \sin\!\bigl(376{,}9911\,t-(-1{,}0268)\bigr) =0{,}230800\\ \sin\!\bigl(376{,}9911\,t+1{,}0268\bigr)\\ \text{A}.

Passo 11

Como representar graficamente no mesmo diagrama as duas funções (orientações práticas para o desenho).
Instruções práticas e interpretação (para fazer à mão ou verificar um gráfico):
  • Eixos: horizontal é tempo t (s), vertical pode ser tensão (V) e corrente (A). Como unidades diferentes, normalmente ou usa-se escalas diferentes no eixo vertical (ou normaliza amplitudes) ou desenha-se num mesmo eixo indicando claramente as unidades.
  • Amplitudes e período: marque a amplitude da tensão 311{,}13\\ \text{V} e da corrente 0{,}2308\\ \text{A}. O período é T\approx 0{,}01667\\ \text{s}; marque pontos importantes a cada T/4 (quartis) por exemplo.
  • Desenho da fase: a corrente adianta a tensão de |\Phi|=1{,}0268\\ \text{rad}. Em tempo isso corresponde a um deslocamento temporal
\Delta t=\frac{\Phi}{\omega}\approx\frac{-1{,}0268}{376{,}9911}\approx -0{,}0027249\\ \text{s}.
O sinal negativo indica que a corrente está deslocada para a esquerda (adianta) por cerca de 2{,}725\\ \text{ms}.
  • Procedimento para desenhar:
    1. Desenhe a curva \varepsilon(t)=311{,}13\sin(376{,}9911\,t) (onda senoidal com período T e amplitude indicada).
    2. Desenhe a curva i(t)=0{,}2308\sin(376{,}9911\,t+1{,}0268) deslocando a senoide da corrente 2{,}725\\ \text{ms} para a esquerda em relação à tensão. No mesmo ciclo verá a corrente alcançar seu primeiro pico antes da tensão.
    3. Marque no gráfico os instantes t=0, t=\Delta t, t=T/4, t=T/2 para evidenciar o deslocamento.
  • Observação final: por causa das amplitudes muito diferentes, se desenhar em mesma escala vertical, a corrente parecerá muito pequena; melhor normalizar (dividir cada função por sua amplitude) para comparar apenas as fases, ou usar duas escalas verticais.

Resposta

A) \omega=120\pi\\ \text{rad/s}\approx 376{,}991118\\ \text{rad/s};\quad T=\dfrac{1}{60}\\ \text{s}\approx 0{,}0166667\\ \text{s}.
B) \;X_{L}\approx 173{,}7929\\ \Omega;\quad X_{C}\approx 1326{,}291121\\ \Omega.
C) \;|Z|=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}\approx 1348{,}4262\\ \Omega.
D) \;I_{\text{rms}}=\dfrac{220}{|Z|}\approx 0{,}163178\\ \text{A}.
E) \displaystyle \Phi=\arctan\!\left(\frac{X_{L}-X_{C}}{R}\right)\approx -1{,}0268\\ \text{rad}\approx -58{,}82^\circ.
F) \;\text{FP}=\cos\Phi=\dfrac{R}{|Z|}\approx 0{,}518984. Significado: apenas cerca de 51{,}9\% da potência aparente é potência ativa; o circuito é com reatância líquida capacitiva, portanto o fator de potência é “leading” (a corrente adianta a tensão).
G) \;\varepsilon_{m}=\sqrt{2}\,220\\ \text{V}\approx 311{,}127\\ \text{V};\quad i_{m}=\sqrt{2}\,0{,}163178\\ \text{A}\approx 0{,}230800\\ \text{A}.
H) \displaystyle \varepsilon(t)\approx 311{,}127\sin\!\bigl(376{,}9911\,t\bigr)\\ \text{V};\quad i(t)\approx 0{,}230800\sin\!\bigl(376{,}9911\,t+1{,}0268\bigr)\\ \text{A}.
I) No mesmo diagrama: desenhar duas senoides com período T\approx 0{,}01667\\ \text{s}, tensão com amplitude 311{,}13 V e corrente com amplitude 0{,}2308 A; deslocar a senoide da corrente para a esquerda em \Delta t\approx -0{,}0027249\\ \text{s} (ou adiantar a corrente em |\Phi|\approx 58{,}82^\circ) para representar o lead da corrente.

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