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Representar um fio condutor retilíneo perpendicular ao plano da folha, com corrente no sentido “para dentro” , campo magnético uniforme paralelo ao plano da figura, no sentido “para a esquerda” e o vetor força magnética sobre o fio.
Para o equilíbrio escrever a relação entre força magnética e a força gravitacional sobre o fio.
Para o equilíbrio escrever :
Corrente (i) em função do campo magnético (B);
Módulo do campo magnético (B) como função da corrente (i).

Passo 1

O enunciado pede:
  • Representar um fio retilíneo perpendicular ao plano da folha com corrente no sentido “para dentro” da folha.
  • Representar um campo magnético uniforme paralelo ao plano da folha, apontando para a esquerda.
  • Representar o vetor força magnética sobre o fio.
  • Escrever, para equilíbrio, a relação entre a força magnética e a força gravitacional sobre um segmento do fio.
  • A partir do equilíbrio, escrever a corrente i em função do campo magnético B e o módulo de B em função de i.
Informações dadas / grandezas que vamos usar:
  • Direção da corrente: para dentro da folha (convence-se desenhar com um símbolo \times dentro de um círculo).
  • Direção do campo magnético: para a esquerda, uniforme (desenhar uma seta para a esquerda).
  • Comprimento do segmento do fio imerso no campo: L (positivo).
  • Massa desse segmento: m (ou alternativamente densidade linear de massa \lambda, com m=\lambda L).
  • Aceleração da gravidade: g.
  • Incógnitas a obter: vetor força magnética \mathbf{F}_{\text{mag}}, equação de equilíbrio, i(B) e B(i).

Passo 2

Conceito-chave: força magnética sobre um fio percorrido por corrente. \n
Para um fio reto de comprimento vetorial \mathbf{L} percorrido por corrente de intensidade i imerso num campo magnético \mathbf{B}, a força magnética total é dada pela regra da força de Lorentz para fios:
\mathbf{F}_{\text{mag}} = i\,\mathbf{L}\times\mathbf{B}.
Explicando cada símbolo: \n
  • i é a intensidade da corrente (escalar, em ampère). \n
  • \mathbf{L} é o vetor comprimento do segmento considerado; sua direção e sentido coincidem com o vetor deslocamento na direção da corrente; seu módulo é L. \n
  • \mathbf{B} é o vetor campo magnético (em tesla). \n
    A magnitude da força pode também ser escrita como
\lVert\mathbf{F}_{\text{mag}}\rVert = i\,L\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{L} e \mathbf{B}.

Passo 3

Determinar direção e sentido da força no caso específico. \n
Escolho um sistema de referência para facilitar: \n
  • eixo x: para a direita; \n
  • eixo y: para cima; \n
  • eixo z: para fora da folha (portanto “para dentro” da folha é -\hat{z}). \n
    Agora escrevo os vetores do problema: \n
  • Corrente para dentro da folha \Rightarrow vetor comprimento \mathbf{L} = -L\,\hat{z}. \n
  • Campo magnético para a esquerda \Rightarrow \mathbf{B} = -B\,\hat{x}. \n
    Calcule a força usando o produto vetorial:
\mathbf{F}_{\text{mag}} = i(-L\hat{z})\times(-B\hat{x}) = iLB\,(\hat{z}\times\hat{x}).
Lembrando a identidade cíclica dos versores ( \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z}, \hat{y}\times\hat{z}=\hat{x}, \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}), obtemos
\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}.
Portanto
\mathbf{F}_{\text{mag}} = iLB\,\hat{y}.
Interpretação: a força magnética atua para cima (sentido positivo de y). \n
No desenho: coloque um \times (corrente entrando), uma seta para a esquerda (campo \mathbf{B}) e uma seta para cima ao lado do fio (força magnética).

Passo 4

Magnitude da força magnética e força gravitacional. \n
Aqui o ângulo entre \mathbf{L} e \mathbf{B} é \theta=90^\circ, então \sin\theta=1 e a magnitude é simplesmente
\lVert\mathbf{F}_{\text{mag}}\rVert = i\,L\,B.
A força gravitacional (peso) sobre o segmento de massa m tem magnitude
\lVert\mathbf{F}_g\rVert = m\,g,
e aponta para baixo (sentido -\hat{y}).

Passo 5

Condição de equilíbrio e resoluções algébricas. \n
Para equilíbrio vertical, a componente vertical da força magnética para cima deve igualar em módulo o peso para baixo. Portanto a relação de equilíbrio é
i\,L\,B = m\,g.
Resolver para i em função de B:
i = \dfrac{m\,g}{L\,B}.
Resolver para B em função de i:
B = \dfrac{m\,g}{i\,L}.

Passo 6

Forma alternativa usando densidade linear de massa. \n
Se em vez de fornecer m for mais natural usar densidade linear \lambda (massa por unidade de comprimento), então m=\lambda L e a equação de equilíbrio torna-se
i\,L\,B = \lambda L\,g \quad\Rightarrow\quad i\,B = \lambda g.
Das quais
i = \dfrac{\lambda g}{B},\qquad B = \dfrac{\lambda g}{i}.

Passo 7

Observações finais e dicas para a prova. \n
  • Ao desenhar: \times significa corrente para dentro; \odot significaria corrente para fora. \n
  • Use sempre o produto vetorial i\mathbf{L}\times\mathbf{B} para achar a direção; para a magnitude lembre iLB\sin\theta. \n
  • Se o fio for muito longo e com densidade conhecida, a forma com \lambda é prática porque o comprimento L cancela. \n
    Força magnética e peso são comparadas por módulos; mantenha atenção aos sentidos dos vetores para escrever o equilíbrio vetorial corretamente. \n
    Força extra: vai dar certo — respira e resolve passo a passo como fizemos aqui!

Resposta

i\,L\,B = m\,g
i = \dfrac{m\,g}{L\,B}
B = \dfrac{m\,g}{i\,L}
\text{(alternativa com densidade linear: }iB=\lambda g\text{, logo }i=\dfrac{\lambda g}{B},\;B=\dfrac{\lambda g}{i}\text{)}

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