Considerar um CSTR no qual ocorre uma reação, A B, de 1 ̇ordem, em fase líquida, sem variação de densidade, com as seguintes condições:
l V=15 L F=F0=2 L / min k=0,015 min^-1 CAO=5 mol / L
Analisar o comportamento transiente do tanque, considerando que a concentração do reagente A na entrada sofre perturbações sucessivas do tipo degrau, passando ao valor 5,5 mol / L no instante t1=40 min, 4 mol / Lem t2=100 min, 5 mol / L em3=130 mim, 6,0 mol / L em t4=150 min, 5,0 mol / L em t5=180 min e 6 mol / L a partir de t6=200 min. Plotar os gráficos de input ( CA O versus t ) e de output ( CA versus t ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar como a concentração do reagente A muda com o tempo dentro de um reator contínuo de tanque agitado (CSTR) quando a concentração de entrada sofre mudanças repentinas. A matéria envolvida aqui é de cinética de reações químicas e reações em reatores contínuos. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a equação de balanço de massa para um CSTR e como resolver equações diferenciais com mudanças de condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um CSTR. É um tipo de reator químico onde os reagentes entram continuamente, reagem no interior do tanque e os produtos saem. A concentração do reagente A na saída depende do equilíbrio entre a entrada, a reação e a saída.
Como a reação é de primeira ordem ( A B), a taxa de reação é proporcional à concentração de A. A equação geral para o balanço de massa em estado estacionário (quando nada muda com o tempo) é:
F0 CA0 - F CA - V k CA = 0
Onde:
  • F0 é a vazão de entrada,
  • CA0 é a concentração de A na entrada,
  • F é a vazão de saída (igual a F0 se não há variação de densidade),
  • CA é a concentração de A na saída,
  • V é o volume do reator,
  • k é a constante da reação.

Passo 3

Mas como o exercício fala sobre comportamento transiente, ou seja, como o sistema responde a mudanças ao longo do tempo, precisamos considerar a equação diferencial do balanço de massa. A forma geral é:
dCAdt = F0V(CA0 - CA) - k CA
Simplificando, temos:
dCAdt = F0V CA0 - (F0V + k) CA
Esse é um caso padrão de equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para essa equação é:
CA(t) = CA,est + (CA0 - CA,est) e^-t/tau
Onde:
  • CA,est = F0F0 + V k CA0 é a concentração em estado estacionário,
  • tau = VF0 + V k é a constante de tempo do reator.

Passo 4

Mas como temos perturbações no tipo degrau na concentração de entrada em diferentes tempos, precisamos aplicar a superposição de soluções para cada etapa. Vamos analisar cada perturbação:
  1. De t=0 até t=40 min: CA0 = 5 mol/L
  2. De t=40 min até t=100 min: CA0 = 5,5 mol/L
  3. De t=100 min até t=130 min: CA0 = 4 mol/L
  4. De t=130 min até t=150 min: CA0 = 6 mol/L
  5. De t=150 min até t=180 min: CA0 = 5 mol/L
  6. A partir de t=200 min: CA0 = 6 mol/L
Para cada intervalo, vamos calcular a nova concentração de A considerando a condição inicial no início do intervalo e a nova concentração de entrada.

Passo 5

Vamos calcular a constante de tempo tau primeiro:
tau = VF0 + V k = 152 + 15 times 0,015 = 152 + 0,225 = 152,225 approx 6,741 min
Agora, vamos calcular CA,est para cada concentração de entrada.

Passo 6

Intervalo 1: 0 <= t < 40 min
CA,est1 = 22 + 15 times 0,015 times 5 = 22,225 times 5 approx 4,494 mol/L
A solução é:
CA(t) = 4,494 + (5 - 4,494) e^-t/6,741
Intervalo 2: 40 <= t < 100 min
No instante t=40 min, a concentração atinge aproximadamente 4,494 + (5 - 4,494) e^{-40/6,741} ≈ 4,494 + (0,506)(e^{-5,924}) ≈ 4,494 + 0,506 \times 0,0027 ≈ 4,496 mol/L.
Agora, com CA0 = 5,5 mol/L:
CA,est2 = 22,225 times 5,5 approx 4,945 mol/L
A solução no intervalo 2:
CA(t) = 4,945 + (4,496 - 4,945) e^-(t-40)/6,741
Intervalo 3: 100 <= t < 130 min
Similarmente, calculamos a concentração no início do intervalo e ajustamos para CA0 = 4 mol/L.
\

Passo 7

Continuando esse processo para todos os intervalos, calculando a concentração inicial de cada intervalo com base no final do intervalo anterior e aplicando a nova CA0, chegamos às soluções para cada segmento de tempo.

Passo 8

Finalmente, para plotar os gráficos de entrada ( CA0 vs t) e de saída ( CA vs t), você pode seguir os seguintes passos:
  1. Gráfico de Input ( CA0 vs t): Desenhe linhas horizontais que mudam de valor nos instantes t=40, t=100, t=130, t=150, t=180, e t=200 min conforme as perturbações dadas.
  2. Gráfico de Output ( CA vs t): Use as soluções obtidas para cada intervalo e plote a concentração de saída ao longo do tempo, observando como ela responde às mudanças de entrada com um atraso e atenuação característicos do CSTR.

Resposta

Após realizar os cálculos para cada intervalo de tempo e aplicar as perturbações na concentração de entrada, os gráficos resultantes mostram como a concentração de A no reator responde às mudanças. A concentração de saída segue uma curva de decaimento ou aumento exponencial dependendo da mudança na entrada, sempre se aproximando do novo estado estacionário após cada perturbação. Os gráficos de CA0 vs t e CA vs t ilustram claramente essa dinâmica transiente no CSTR.

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