Considerar um CSTR no qual ocorre uma reação,
, de 1 ̇ordem, em fase líquida, sem variação de densidade, com as seguintes condições:
Analisar o comportamento transiente do tanque, considerando que a concentração do reagente A na entrada sofre perturbações sucessivas do tipo degrau, passando ao valor 5,5
no instante
em
e
a partir de
. Plotar os gráficos de input (
versus
) e de output (
versus
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar como a concentração do reagente A muda com o tempo dentro de um reator contínuo de tanque agitado (CSTR) quando a concentração de entrada sofre mudanças repentinas. A matéria envolvida aqui é de cinética de reações químicas e reações em reatores contínuos. Para resolver, vamos precisar entender como funciona a equação de balanço de massa para um CSTR e como resolver equações diferenciais com mudanças de condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um CSTR. É um tipo de reator químico onde os reagentes entram continuamente, reagem no interior do tanque e os produtos saem. A concentração do reagente A na saída depende do equilíbrio entre a entrada, a reação e a saída.
Como a reação é de primeira ordem (
), a taxa de reação é proporcional à concentração de A. A equação geral para o balanço de massa em estado estacionário (quando nada muda com o tempo) é:
Onde:
-
é a vazão de entrada, -
é a concentração de A na entrada, -
é a vazão de saída (igual a se não há variação de densidade), -
é a concentração de A na saída, -
é o volume do reator, -
é a constante da reação.
Passo 3
Mas como o exercício fala sobre comportamento transiente, ou seja, como o sistema responde a mudanças ao longo do tempo, precisamos considerar a equação diferencial do balanço de massa. A forma geral é:
Simplificando, temos:
Esse é um caso padrão de equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral para essa equação é:
Onde:
-
é a concentração em estado estacionário, -
é a constante de tempo do reator.
Passo 4
Mas como temos perturbações no tipo degrau na concentração de entrada em diferentes tempos, precisamos aplicar a superposição de soluções para cada etapa. Vamos analisar cada perturbação:
- De
até min: mol/L - De
min até min: mol/L - De
min até min: mol/L - De
min até min: mol/L - De
min até min: mol/L - A partir de
min: mol/L
Para cada intervalo, vamos calcular a nova concentração de A considerando a condição inicial no início do intervalo e a nova concentração de entrada.
Passo 5
Vamos calcular a constante de tempo
primeiro:
Agora, vamos calcular
para cada concentração de entrada.
Passo 6
Intervalo 1:
min
A solução é:
Intervalo 2:
min
No instante
min, a concentração atinge aproximadamente 4,494 + (5 - 4,494) e^{-40/6,741} ≈ 4,494 + (0,506)(e^{-5,924}) ≈ 4,494 + 0,506 \times 0,0027 ≈ 4,496 mol/L.
Agora, com
mol/L:
A solução no intervalo 2:
Intervalo 3:
min
Similarmente, calculamos a concentração no início do intervalo e ajustamos para
mol/L.
\
Passo 7
Continuando esse processo para todos os intervalos, calculando a concentração inicial de cada intervalo com base no final do intervalo anterior e aplicando a nova
, chegamos às soluções para cada segmento de tempo.
Passo 8
Finalmente, para plotar os gráficos de entrada (
vs
) e de saída (
vs
), você pode seguir os seguintes passos:
-
Gráfico de Input (
vs ): Desenhe linhas horizontais que mudam de valor nos instantes , , , , , e min conforme as perturbações dadas. -
Gráfico de Output (
vs ): Use as soluções obtidas para cada intervalo e plote a concentração de saída ao longo do tempo, observando como ela responde às mudanças de entrada com um atraso e atenuação característicos do CSTR.
Resposta
Após realizar os cálculos para cada intervalo de tempo e aplicar as perturbações na concentração de entrada, os gráficos resultantes mostram como a concentração de A no reator responde às mudanças. A concentração de saída segue uma curva de decaimento ou aumento exponencial dependendo da mudança na entrada, sempre se aproximando do novo estado estacionário após cada perturbação. Os gráficos de
vs
e
vs
ilustram claramente essa dinâmica transiente no CSTR.