Se considerarmos o conjunto \mathbb{R} como um espaço vetorial, quais são seus subespaços?

Passo 1

O enunciado pede para identificar todos os subespaços de \mathbb{R} quando ele é visto como espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}. Vamos usar a definição de subespaço vetorial e a ideia de que, se um subespaço contém um vetor não nulo, ele acaba gerando todo o espaço.

Passo 2

Uma parte V\subseteq\mathbb{R} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz:
  1. 0\in V.
  2. Para todo u,v\in V, tem-se u+v\in V.
  3. Para todo u\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, tem-se \alpha u\in V.

Passo 3

Suponha que V\subseteq\mathbb{R} seja subespaço não trivial, isto é, exista x\in V com x\neq0. Então, dado qualquer y\in\mathbb{R}, podemos escolher o escalar
\alpha = \frac{y}{x}
e obter
\alpha x = \frac{y}{x}\,x = y.
Como x\in V e V é fechado sob multiplicação por escalar, segue que y\in V. Logo V=\mathbb{R}. Se V não contiver nenhum vetor não nulo, só restará V=\{0\}.

Resposta

Os únicos subespaços de \mathbb{R} (como espaço vetorial sobre \mathbb{R}) são
\{0\} e \mathbb{R}.

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