Se considerarmos o conjunto
como um espaço vetorial, quais são seus subespaços?
Passo 1
O enunciado pede para identificar todos os subespaços de
quando ele é visto como espaço vetorial sobre o corpo
. Vamos usar a definição de subespaço vetorial e a ideia de que, se um subespaço contém um vetor não nulo, ele acaba gerando todo o espaço.
Passo 2
Uma parte
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz:
-
. - Para todo
, tem-se . - Para todo
e todo escalar , tem-se .
Passo 3
Suponha que
seja subespaço não trivial, isto é, exista
com
. Então, dado qualquer
, podemos escolher o escalar
e obter
Como
e
é fechado sob multiplicação por escalar, segue que
. Logo
. Se
não contiver nenhum vetor não nulo, só restará
.
Resposta
Os únicos subespaços de
(como espaço vetorial sobre
) são
e
.