Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=P_{2}(x) e W=\{p(x) \mid p(0)=2 p(1)\}.

Passo 1

O enunciado fala do espaço vetorial V = P_{2}(x), formado pelos polinômios de grau <=2, e do subconjunto
W = \bigl\{p(x)\in P_{2}(x)\mid p(0)=2\,p(1)\bigr\}.
Para mostrar que W é subespaço de V, vamos usar a definição: precisamos verificar que
1. o polinômio zero está em W,
2. W é fechado sob soma,
3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos o polinômio zero p(x)=0. Temos
p(0)=0\quad\text{e}\quad p(1)=0,
logo
p(0)=0=2\cdot 0=2\,p(1),
portanto p(x)=0\in W.

Passo 3

Sejam p e q em W. Então
p(0)=2\,p(1) \quad\text{e}\quad q(0)=2\,q(1).
Para a soma r=p+q obtemos
r(0)=p(0)+q(0) =2\,p(1)+2\,q(1) =2\bigl(p(1)+q(1)\bigr) =2\,r(1),
logo r\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja p\in W e \alpha\in\mathbb{K}. Então p(0)=2\,p(1). Para \alpha p temos
(\alpha p)(0)=\alpha\,p(0) =\alpha\bigl(2\,p(1)\bigr) =2\bigl(\alpha\,p(1)\bigr) =2\,(\alpha p)(1),
logo \alpha p\in W. Assim W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é um subespaço de V=P_{2}(x).

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