Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=P_{2}(x) e W=\left\{p(x) \mid p(x)+p^{\prime}(x)=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial
V = P_{2}(x)
que é o conjunto de todos os polinômios de grau <=2, e o subconjunto
W = \bigl\{\,p(x)\in P_{2}(x)\mid p(x)+p'(x)=0\bigr\}.
Pergunta-se se W é subespaço de V. Vamos usar o critério de subespaço: mostrar que W\neq\emptyset, que é fechado em adição e em multiplicação por escalar.

Passo 2

Seja
p(x)=a x^{2}+b x+c
um polinômio genérico em P_{2}(x). Então
p'(x)=2a x+b.
A condição p(x)+p'(x)=0 para todo x equivale a
a x^{2}+b x+c + (2a x+b) = 0
como polinômio nulo. Agrupando termos polinomiais, obtemos
a x^{2} + (b+2a)x + (c+b) = 0.
Para esse polinômio ser identicamente zero, os coeficientes devem anular-se:
a = 0,\quad b+2a = 0,\quad c+b = 0.
Substituindo a=0 nas outras duas equações dá b=0 e c=0.

Passo 3

O sistema acima só admite a solução
a=0,\quad b=0,\quad c=0,
logo o único polinômio em W é
p(x)=0.
Portanto
W = \{\,0\},
o conjunto que contém apenas o polinômio zero.

Passo 4

Verificamos agora os requisitos de subespaço:
1. W\neq\emptyset: de fato 0\in W.
2. Fechamento em adição: para quaisquer u,v\in W temos u=0 e v=0, então u+v=0\in W.
3. Fechamento em multiplicação por escalar: para qualquer escalar \lambda e qualquer u\in W (isto é, u=0) temos \lambda u=\lambda\cdot0=0\in W.

Passo 5

Como W satisfaz todos os critérios (não-vazio, fechado em soma e em produto por escalar), concluímos que W é subespaço de V. Trata-se do subespaço trivial.

Resposta

W é um subespaço de V (é o subespaço trivial \{0\}).

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