Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
que é o conjunto de todos os polinômios de grau
, e o subconjunto
Pergunta-se se
é subespaço de
. Vamos usar o critério de subespaço: mostrar que
, que é fechado em adição e em multiplicação por escalar.
Passo 2
Seja
um polinômio genérico em
. Então
A condição
para todo
equivale a
como polinômio nulo. Agrupando termos polinomiais, obtemos
Para esse polinômio ser identicamente zero, os coeficientes devem anular-se:
Substituindo
nas outras duas equações dá
e
.
Passo 3
O sistema acima só admite a solução
logo o único polinômio em
é
Portanto
o conjunto que contém apenas o polinômio zero.
Passo 4
Verificamos agora os requisitos de subespaço:
.
: de fato
.
. Fechamento em adição: para quaisquer
temos
e
, então
.
. Fechamento em multiplicação por escalar: para qualquer escalar
e qualquer
(isto é,
) temos
.
Passo 5
Como
satisfaz todos os critérios (não-vazio, fechado em soma e em produto por escalar), concluímos que
é subespaço de
. Trata-se do subespaço trivial.