As alturas de mulheres adultas acusam média de 63,6 in. e desvio padrão de 2,5 in. O que nos afirma o teorema de Chebyshev sobre as mulheres com altura entre 58,6 in. e 68,6 in.? Entre 56,1 in. e 71,1 in.?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: a média das alturas é \mu=63,6 in. e o desvio padrão é \sigma=2,5 in. Pergunta-se o que o Teorema de Chebyshev nos garante sobre a proporção de mulheres com altura dentro dos intervalos [58,6,\,68,6] e [56,1,\,71,1].
Resumo dos dados relevantes: \mu=63,6, \sigma=2,5. Os intervalos são [58,6,\,68,6] e [56,1,\,71,1]. O que precisamos fornecer é a fração mínima (garantida pelo Teorema de Chebyshev) da população que cai em cada intervalo.

Passo 2

Apresentando o Teorema de Chebyshev (fórmula e o que cada símbolo significa). O teorema afirma que, para qualquer distribuição (não importa se é normal ou não), a proporção de observações que ficam a uma distância menor que k desvios-padrão da média é pelo menos
1 - \frac{1}{k^{2}}.
Aqui \mu é a média, \sigma é o desvio-padrão, e k é um número positivo que representa quantos desvios-padrão estamos considerando (ou seja, estamos olhando o intervalo [\mu-k\sigma,\;\mu+k\sigma]). A interpretação prática: se você consegue expressar um intervalo como \mu\pm k\sigma, então o Teorema de Chebyshev garante pelo menos 1-1/k^{2} da população nesse intervalo.

Passo 3

Vamos transformar o primeiro intervalo [58,6,\,68,6] em termos de desvios-padrão em torno da média. A distância entre a média \mu=63,6 e a extremidade 68,6 (ou 58,6) é
68,6-63,6 = 5 \quad\text{(in.)}.
Para achar k calculamos
k = \frac{\text{distância}}{\sigma} = \frac{5}{2,5} = 2.â
Portanto o intervalo [58,6,\,68,6] é exatamente \mu\pm 2\sigma.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Chebyshev com k=2:
1 - \frac{1}{k^{2}} = 1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
Convertendo para porcentagem, \frac{3}{4}=0,75 corresponde a 75\%. Interpretação: o Teorema de Chebyshev garante que pelo menos 75\% das mulheres têm altura entre 58,6 in. e 68,6 in.

Passo 5

Agora o segundo intervalo [56,1,\,71,1]. Distância entre a média e a extremidade:
71,1-63,6 = 7,5 \quad\text{(in.)}.
Calculamos k:
k = \frac{7,5}{2,5} = 3.
Então esse intervalo é \mu\pm 3\sigma.

Passo 6

Aplicamos Chebyshev com k=3:
1 - \frac{1}{k^{2}} = 1 - \frac{1}{3^{2}} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}.
Convertendo para porcentagem, \frac{8}{9}\approx 0,888\ldots, ou cerca de 88,888\ldots\%. Interpretação: o Teorema de Chebyshev garante que pelo menos \tfrac{8}{9} (aproximadamente 88,89\%) das mulheres têm altura entre 56,1 in. e 71,1 in.

Resposta

Pelo menos \tfrac{3}{4} (ou 75\%) das mulheres têm altura entre 58,6 in. e 68,6 in.
Pelo menos \tfrac{8}{9} (ou aproximadamente 88,89\%) das mulheres têm altura entre 56,1 in. e 71,1 in.

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