As alturas de mulheres adultas acusam média de 63,6 in. e desvio padrão de 2,5 in. O que nos afirma o teorema de Chebyshev sobre as mulheres com altura entre 58,6 in. e 68,6 in.? Entre 56,1 in. e 71,1 in.?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: a média das alturas é
in. e o desvio padrão é
in. Pergunta-se o que o Teorema de Chebyshev nos garante sobre a proporção de mulheres com altura dentro dos intervalos
e
.
Resumo dos dados relevantes: ,
. Os intervalos são
e
. O que precisamos fornecer é a fração mínima (garantida pelo Teorema de Chebyshev) da população que cai em cada intervalo.
Resumo dos dados relevantes:
Passo 2
Apresentando o Teorema de Chebyshev (fórmula e o que cada símbolo significa). O teorema afirma que, para qualquer distribuição (não importa se é normal ou não), a proporção de observações que ficam a uma distância menor que
desvios-padrão da média é pelo menos
Aqui
é a média,
é o desvio-padrão, e
é um número positivo que representa quantos desvios-padrão estamos considerando (ou seja, estamos olhando o intervalo
). A interpretação prática: se você consegue expressar um intervalo como
, então o Teorema de Chebyshev garante pelo menos
da população nesse intervalo.
Passo 3
Vamos transformar o primeiro intervalo
em termos de desvios-padrão em torno da média. A distância entre a média
e a extremidade
(ou
) é
Para achar
calculamos
Portanto o intervalo
é exatamente
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de Chebyshev com
:
Convertendo para porcentagem,
corresponde a
. Interpretação: o Teorema de Chebyshev garante que pelo menos
das mulheres têm altura entre
in. e
in.
Passo 5
Agora o segundo intervalo
. Distância entre a média e a extremidade:
Calculamos
:
Então esse intervalo é
.
Passo 6
Aplicamos Chebyshev com
:
Convertendo para porcentagem,
, ou cerca de
. Interpretação: o Teorema de Chebyshev garante que pelo menos
(aproximadamente
) das mulheres têm altura entre
in. e
in.
Resposta
Pelo menos
(ou
) das mulheres têm altura entre
in. e
in.
Pelo menos (ou aproximadamente
) das mulheres têm altura entre
in. e
in.
Pelo menos