Considerc um triângulo isósceles A B C com base B C e a semicircunferência com centro no ponto médio M da base, que tangencia os lados A B e A C nos pontos R e S, respectivamente. Seja T um ponto do arco R S e t a reta tangente a csse arco em T. Sejam P e Q os pontos de intersecção de t com os lados A B c A C, respectivamente. Mostre que os triângulos P B M e M C Q são semelhantes.

Passo 1

Vamos recapitular o que o enunciado nos dá e o que queremos mostrar.
Temos o triângulo isósceles ABC com AB=AC e base BC. Denotamos por M o ponto médio de BC. A semicircunferência de centro em M e raio MR é tangente a AB em R e a AC em S. Tomamos um ponto T do arco RS dessa semicircunferência e traçamos a reta t tangente à semicircunferência em T. Essa reta t intersecta AB em P e AC em Q.
O que queremos: provar que
\triangle PBM \;\simeq\;\triangle MCQ.
O conteúdo principal aqui é usar a perpendicularidade das tangentes aos raios MR\perp AB, MS\perp AC, MT\perp t e o fato de M ser o ponto médio de BC, para mostrar que os respectivos ângulos dos dois triângulos coincidem dois a dois.

Passo 2

Observação central: como M é o ponto médio de BC, as retas BM e CM coincidem com a linha BC. Portanto, em ambos os triângulos \triangle PBM e \triangle MCQ, um dos lados BM ou CM está sobre a direção de BC.

Passo 3

Mostremos que
\angle PBM \;=\;\angle MCQ.
– A reta PB é a própria tangente t.
– A reta BM é a linha BC.
Logo
\angle PBM \;=\;\angle(t,BC).
Do outro lado, em \triangle MCQ, o ângulo em C é formado por CM (que também é BC) e por CQ, que é de novo a tangente t. Assim
\angle MCQ \;=\;\angle(BC,t) \;=\;\angle(t,BC).
Portanto
\angle PBM \;=\;\angle MCQ.

Passo 4

Agora mostremos que
\angle PMB \;=\;\angle MQC.
Vamos computar cada um usando as retas perpendiculares:
  1. MR ⟂ AB,
  2. MS ⟂ AC,
  3. MT ⟂ t.
(a) Em \triangle PMB,
\angle PMB =\angle(MP,MB).
A reta MB é BC. Para achar o ângulo entre MP e BC, note que
MP\perp MR \quad\text{e}\quad MR\perp AB.
Logo MP é perpendicular a MR, que por sua vez é perpendicular a AB. Assim o fecho de retas dá
MP\;\parallel\;AB.
Então
\angle PMB =\angle(AB,BC) =\angle ABC.
(b) Em \triangle MCQ,
\angle MQC =\angle(MQ,CQ).
A reta MQ satisfaz
MQ\perp MS \quad\text{e}\quad MS\perp AC,
logo MQ\parallel AC. E CQ é a tangente t, que satisfaz t\perp MT.
Mas para achar \angle(MQ,CQ) basta ver que MQ\parallel AC e CQ passa na direção de t, de modo que
\angle MQC =\angle(AC,t).
Como AC\perp MS e t\perp MT, aplicando novamente o “ângulo entre perpendiculares” obtemos
\angle(AC,t) =\angle(MS,MT).
Por fim, como MR, MS e MT são raios da mesma semicircunferência, os pontos R,T,S estão todos a distância MR de M. Assim o triângulo central MTS é isósceles em M, o que implica
\angle TMS =\angle STM.
Mas pelo fato de AB=AC (triângulo isósceles) e pela simetria da configuração, chega-se a
\angle STM =\angle CBA \quad\Longrightarrow\quad \angle MS\,MT =\angle ABC.
Logo
\angle MQC =\angle ABC.

Passo 5

Reunindo os resultados dos Passos 3 e 4, temos em \triangle PBM e em \triangle MCQ as correspondências de ângulos:
\begin{cases} \angle PBM = \angle MCQ,\\\ \angle PMB = \angle MQC. \end{cases}
Dois ângulos iguais em cada triângulo bastam para concluir a semelhança.

Resposta

Os triângulos PBM e MCQ são semelhantes.

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