Considerc um triângulo isósceles
com base
e a semicircunferência com centro no ponto médio
da base, que tangencia os lados
e
nos pontos
e
, respectivamente. Seja
um ponto do arco
e
a reta tangente a csse arco em
. Sejam
e
os pontos de intersecção de
com os lados
c
, respectivamente. Mostre que os triângulos
e
são semelhantes.
Passo 1
Vamos recapitular o que o enunciado nos dá e o que queremos mostrar.
Temos o triângulo isósceles com
e base
. Denotamos por
o ponto médio de
. A semicircunferência de centro em
e raio
é tangente a
em
e a
em
. Tomamos um ponto
do arco
dessa semicircunferência e traçamos a reta
tangente à semicircunferência em
. Essa reta
intersecta
em
e
em
.
O que queremos: provar que
Temos o triângulo isósceles
O que queremos: provar que
O conteúdo principal aqui é usar a perpendicularidade das tangentes aos raios
,
,
e o fato de
ser o ponto médio de
, para mostrar que os respectivos ângulos dos dois triângulos coincidem dois a dois.
Passo 2
Observação central: como
é o ponto médio de
, as retas
e
coincidem com a linha
. Portanto, em ambos os triângulos
e
, um dos lados
ou
está sobre a direção de
.
Passo 3
Mostremos que
– A reta
é a própria tangente
.
– A reta é a linha
.
Logo
– A reta
Logo
Do outro lado, em
, o ângulo em
é formado por
(que também é
) e por
, que é de novo a tangente
. Assim
Portanto
Passo 4
Agora mostremos que
Vamos computar cada um usando as retas perpendiculares:
- MR ⟂ AB,
- MS ⟂ AC,
- MT ⟂ t.
(a) Em
,
A reta
é
. Para achar o ângulo entre
e
, note que
Logo
é perpendicular a
, que por sua vez é perpendicular a
. Assim o fecho de retas dá
Então
(b) Em
,
A reta
satisfaz
logo
. E
é a tangente
, que satisfaz
.
Mas para achar basta ver que
e
passa na direção de
, de modo que
Mas para achar
Como
e
, aplicando novamente o “ângulo entre perpendiculares” obtemos
Por fim, como MR, MS e MT são raios da mesma semicircunferência, os pontos
estão todos a distância
de
. Assim o triângulo central
é isósceles em
, o que implica
Mas pelo fato de
(triângulo isósceles) e pela simetria da configuração, chega-se a
Logo
Passo 5
Reunindo os resultados dos Passos 3 e 4, temos em
e em
as correspondências de ângulos:
Dois ângulos iguais em cada triângulo bastam para concluir a semelhança.
Resposta
Os triângulos
e
são semelhantes.