Determine a distância entre o incentro e o circuncentro de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 12 cm .

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo com hipotenusa medindo 13,cm e um dos catetos medindo 12,cm. Queremos a distância entre o incentro I e o circuncentro O. Para isso vamos precisar das fórmulas de raio circunscrito R, raio inscrito r e a relação de Euler
OI^2 = R\,(R - 2r)\,.

Passo 2

Vamos achar o outro cateto b pelo Teorema de Pitágoras:
b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\\ \text{cm}.

Passo 3

Calcular o semiperímetro s e a área T para obter o raio inscrito r.
s = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15\,,
T = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30\,.
Logo,
r = \frac{T}{s} = \frac{30}{15} = 2\\ \text{cm}.

Passo 4

Em triângulo retângulo, o raio circunscrito é metade da hipotenusa, portanto
R = \frac{13}{2} = 6{,}5\\ \text{cm}.

Passo 5

Aplicar a relação de Euler OI^2 = R\,(R - 2r):
OI^2 = 6{,}5 \,\bigl(6{,}5 - 2\cdot 2\bigr) = 6{,}5 \times 2{,}5 = 16{,}25.
Assim
OI = \sqrt{16{,}25} = \frac{\sqrt{65}}{2}\\ \text{cm}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{65}}{2} cm.

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