Mostrc que duas circunferências são tangentes se, e somente se, têm um único ponto em comum.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar que duas circunferências em um plano são tangentes (isto é, tocam-se em um único ponto e têm aí uma reta comum tangent) se, e somente se, elas compartilham exatamente um ponto. Para isso, vamos usar geometria analítica: escrever as equações das circunferências, resolver o sistema e contar quantas soluções há.

Passo 2

Sejam as circunferências
S_1:\;(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2
e
S_2:\;(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2,
com centros C_1=(x_1,y_1), C_2=(x_2,y_2) e raios r_1,r_2>0. Denote d=\dist(C_1,C_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Para simplificar a conta, fazemos mudança de coordenadas levando C_1 para (0,0) e C_2 para (d,0). Em seguida as equações viram
x^2+y^2=r_1^2,
(x-d)^2+y^2=r_2^2.

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, eliminamos y^2:
x^2+y^2-\bigl[(x-d)^2+y^2\bigr]=r_1^2-r_2^2 \;\Longrightarrow\; 2dx = r_1^2 - r_2^2 + d^2.
Logo qualquer ponto comum satisfaz
x = \frac{r_1^2 - r_2^2 + d^2}{2d}.

Passo 4

Voltando a x^2+y^2=r_1^2, achamos
y^2 = r_1^2 - x^2 = r_1^2 - \Bigl(\frac{r_1^2 - r_2^2 + d^2}{2d}\Bigr)^{\!2}.

Passo 5

O número de soluções reais do sistema depende do sinal de y^2:
  • Se y^2>0, existem duas soluções (x,y) simétricas (duas interseções).
  • Se y^2<0, não há solução real (sem interseção).
  • Se y^2=0, há exatamente uma solução (x,0) (uma única interseção).

Passo 6

Impondo y^2=0 temos
r_1^2 = \Bigl(\frac{r_1^2 - r_2^2 + d^2}{2d}\Bigr)^{\!2} \;\Longleftrightarrow\; (r_1^2 - r_2^2 + d^2)^2 = 4d^2r_1^2 \;\Longleftrightarrow\; d = r_1 + r_2 \quad\text{ou}\quad d = \bigl|\,r_1 - r_2\bigr|.
Esses dois casos correspondem exatamente às tangências externa e interna, respectivamente.

Passo 7

Conclusão: o sistema que encontra os pontos de intersecção das duas circunferências tem solução única precisamente quando d=r_1+r_2 ou d=|r_1-r_2|, isto é, exatamente nos casos em que as circunferências são tangentes. Assim, ficar sem solução equivale a não se tocarem, ter duas soluções equivale a cruzarem-se em dois pontos, e ter uma única solução equivale a serem tangentes.

Resposta

Duas circunferências são tangentes se, e somente se, têm exatamente um ponto em comum.

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