Mostrc que duas circunferências são tangentes se, e somente se, têm um único ponto em comum.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos provar que duas circunferências em um plano são tangentes (isto é, tocam-se em um único ponto e têm aí uma reta comum tangent) se, e somente se, elas compartilham exatamente um ponto. Para isso, vamos usar geometria analítica: escrever as equações das circunferências, resolver o sistema e contar quantas soluções há.
Passo 2
Sejam as circunferências
S_1:\;(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2
e
S_2:\;(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2,
com centros C_1=(x_1,y_1), C_2=(x_2,y_2) e raios r_1,r_2>0. Denote d=\dist(C_1,C_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Para simplificar a conta, fazemos mudança de coordenadas levando C_1 para (0,0) e C_2 para (d,0). Em seguida as equações viram
x^2+y^2=r_1^2,
(x-d)^2+y^2=r_2^2.
Passo 3
Subtraindo a segunda equação da primeira, eliminamos y^2:
Esses dois casos correspondem exatamente às tangências externa e interna, respectivamente.
Passo 7
Conclusão: o sistema que encontra os pontos de intersecção das duas circunferências tem solução única precisamente quando d=r_1+r_2 ou d=|r_1-r_2|, isto é, exatamente nos casos em que as circunferências são tangentes. Assim, ficar sem solução equivale a não se tocarem, ter duas soluções equivale a cruzarem-se em dois pontos, e ter uma única solução equivale a serem tangentes.
Resposta
Duas circunferências são tangentes se, e somente se, têm exatamente um ponto em comum.