Considere que entre 15^{\circ} \mathrm{N} e 45^{\circ} \mathrm{N}, os ventos sobre o Oceano Atlântico consistem, predominantemente, nos alísios, entre 15^{\circ} \mathrm{N} e 30^{\circ} \mathrm{N}, e nos ventos de oeste, entre 30^{\circ} \mathrm{N} e 45^{\circ} \mathrm{N}. Uma expressão analítica que representa, aproximadamente, o campo de tensão desses ventos (denominado giro simples) é dada por:
onde \tau_{0} é uma constante, y é a coordenada meridional e 2 L é a escala horizontal (meridional) do problema na qual -L \leq y \leq L. Faça um esboço do gráfico da tensão \tau_{\mathrm{x}}(\mathrm{y}) entre \mathrm{y}=\mathrm{L} e \mathrm{y}=-\mathrm{L}. ( 0.5 pt )
Passo 1
O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da tensão meridional \tau_x(y) no intervalo -L \le y \le L. As informações dadas são:
No intervalo aberto (-L,L) temos \left|\frac{\pi y}{2L}\right|<\frac{\pi}{2}, então \cos\!\left(\frac{\pi y}{2L}\right)>0. Assim \frac{d\tau_x}{dy}>0 em todo (-L,L): a função é estritamente crescente de -\tau_0 até \tau_0.
Passo 5
Análise da concavidade e ponto de inflexão. Segunda derivada:
Isto diz que a curva atravessa a origem com inclinação positiva \tau_0\pi/(2L); se L for pequeno a inclinação é grande, se L for grande a inclinação é suave.
Passo 7
Instruções concretas para desenhar o esboço (passo a passo prático para a prova):
Desenhe eixos com y no eixo horizontal e \tau_x no vertical.
Marque os pontos y=-L,0,L no eixo horizontal e \tau_x=-\tau_0,0,\tau_0 no eixo vertical.
Ligue suavemente (-L,-\tau_0) a (0,0) a (L,\tau_0) com uma curva senoidal crescente:
à esquerda (para y<0) a curva é côncava para cima,
cruza a origem com inclinação \tau_0\pi/(2L),
à direita (para y>0) é côncava para baixo.
Garanta anti-simetria: o ramo esquerdo é o negativo do ramo direito.
Não há máximos ou mínimos internos além dos valores nas extremidades do intervalo (os pontos extremos são \pm\tau_0 em \pm L).
Resposta
O gráfico é a senoide truncada no intervalo [-L,L], aumentando monotonamente de \tau_x(-L)=-\tau_0 até \tau_x(L)=\tau_0, passando por (0,0); é ímpar (anti-simétrico), côncava para cima em y<0, côncava para baixo em y>0 e possui ponto de inflexão em y=0. A inclinação na origem é \tau_0\pi/(2L).