Considere que entre 15^{\circ} \mathrm{N} e 45^{\circ} \mathrm{N}, os ventos sobre o Oceano Atlântico consistem, predominantemente, nos alísios, entre 15^{\circ} \mathrm{N} e 30^{\circ} \mathrm{N}, e nos ventos de oeste, entre 30^{\circ} \mathrm{N} e 45^{\circ} \mathrm{N}. Uma expressão analítica que representa, aproximadamente, o campo de tensão desses ventos (denominado giro simples) é dada por:
\tau_{x}=\tau_{0} \sin \left(\frac{\pi y}{2 L}\right) ; \tau_{y}=0
  • onde \tau_{0} é uma constante, y é a coordenada meridional e 2 L é a escala horizontal (meridional) do problema na qual -L \leq y \leq L. Faça um esboço do gráfico da tensão \tau_{\mathrm{x}}(\mathrm{y}) entre \mathrm{y}=\mathrm{L} e \mathrm{y}=-\mathrm{L}. ( 0.5 pt )

Passo 1

O enunciado pede que eu faça um esboço do gráfico da tensão meridional \tau_x(y) no intervalo -L \le y \le L. As informações dadas são:
\tau_x(y)=\tau_0\sin\!\left(\frac{\pi y}{2L}\right),\qquad \tau_y=0,
onde \tau_0 é uma constante e y varia entre -L e L. O que se pede explicitamente: desenhar (esboçar) a curva \tau_x em função de y para y\in[-L,L].

Passo 2

Calculo valores nos pontos-chave para posicionar o esboço:
\text{em } y=0:\quad \tau_x(0)=\tau_0\sin(0)=0.
\text{em } y=L:\quad \tau_x(L)=\tau_0\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\tau_0.
\text{em } y=-L:\quad \tau_x(-L)=\tau_0\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\tau_0.
Portanto os pontos importantes são \,( -L,-\tau_0 ),\; (0,0),\; (L,\tau_0)\,.

Passo 3

Observe a simetria da função: a função seno é ímpar, então
\tau_x(-y)=\tau_0\sin\!\left(-\frac{\pi y}{2L}\right)=-\tau_0\sin\!\left(\frac{\pi y}{2L}\right)=-\tau_x(y).
Isto significa que o gráfico é anti-simétrico em relação à origem: a metade negativa é o espelho invertido da metade positiva.

Passo 4

Análise da monotonicidade (importante para a forma do esboço). Derivo \tau_x:
\frac{d\tau_x}{dy}=\tau_0\cdot\frac{\pi}{2L}\cos\!\left(\frac{\pi y}{2L}\right).
No intervalo aberto (-L,L) temos \left|\frac{\pi y}{2L}\right|<\frac{\pi}{2}, então \cos\!\left(\frac{\pi y}{2L}\right)>0. Assim \frac{d\tau_x}{dy}>0 em todo (-L,L): a função é estritamente crescente de -\tau_0 até \tau_0.

Passo 5

Análise da concavidade e ponto de inflexão. Segunda derivada:
\frac{d^2\tau_x}{dy^2}=-\tau_0\left(\frac{\pi}{2L}\right)^2\sin\!\left(\frac{\pi y}{2L}\right).
No intervalo:
  • Para y<0 temos \sin(\cdot)<0 logo \frac{d^2\tau_x}{dy^2}>0: curva côncava para cima à esquerda (concavidade positiva).
  • Para y>0 temos \sin(\cdot)>0 logo \frac{d^2\tau_x}{dy^2}<0: curva côncava para baixo à direita.
  • Em y=0 a segunda derivada é zero e muda de sinal: há um ponto de inflexão em y=0.

Passo 6

Avalio a inclinação no ponto central (útil para desenhar a reta tangente e perceber a “inclinação” no meio):
\left.\frac{d\tau_x}{dy}\right|_{y=0}=\tau_0\cdot\frac{\pi}{2L}.
Isto diz que a curva atravessa a origem com inclinação positiva \tau_0\pi/(2L); se L for pequeno a inclinação é grande, se L for grande a inclinação é suave.

Passo 7

Instruções concretas para desenhar o esboço (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe eixos com y no eixo horizontal e \tau_x no vertical.
  2. Marque os pontos y=-L,0,L no eixo horizontal e \tau_x=-\tau_0,0,\tau_0 no eixo vertical.
  3. Ligue suavemente (-L,-\tau_0) a (0,0) a (L,\tau_0) com uma curva senoidal crescente:
    • à esquerda (para y<0) a curva é côncava para cima,
    • cruza a origem com inclinação \tau_0\pi/(2L),
    • à direita (para y>0) é côncava para baixo.
  4. Garanta anti-simetria: o ramo esquerdo é o negativo do ramo direito.
  5. Não há máximos ou mínimos internos além dos valores nas extremidades do intervalo (os pontos extremos são \pm\tau_0 em \pm L).

Resposta

O gráfico é a senoide truncada no intervalo [-L,L], aumentando monotonamente de \tau_x(-L)=-\tau_0 até \tau_x(L)=\tau_0, passando por (0,0); é ímpar (anti-simétrico), côncava para cima em y<0, côncava para baixo em y>0 e possui ponto de inflexão em y=0. A inclinação na origem é \tau_0\pi/(2L).

Exercícios relacionados