O princípio da Conservação da Vorticidade Potencial (VP) é expresso matematicamente por:
\frac{\zeta+f}{H}=c t e
Onde \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} e f=2 \Omega \sin \theta.
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam \varsigma e f nos seguintes casos:
A coluna d’água se move zonalmente;

Passo 1

O enunciado pede que descrevamos como variam \varsigma e f quando uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca zonalmente com a profundidade H aumentando. Informações dadas e suposições que vou usar:
  • A conservação da vorticidade potencial é \displaystyle \frac{\zeta+f}{H}=\text{cte}.
  • Aqui vou interpretar \varsigma como a vorticidade relativa \zeta (o enunciado original usou \zeta).
  • A definição planetária é \displaystyle f=2\Omega\sin\theta.
  • A coluna está no hemisfério sul (logo \sin\theta<0 e f<0).
  • O deslocamento é zonal: isto significa que a latitude \theta praticamente não muda.
  • A situação considerada: H aumenta (isto é, a coluna se “estica” verticalmente).

    Não resolvo nada ainda; apenas listei o que foi dado e o que precisamos descrever.

Passo 2

Entenda o que acontece com f quando o movimento é zonal. A fórmula é
f=2\Omega\sin\theta,
onde \Omega é a rotação da Terra (constante) e \theta é a latitude. Num deslocamento zonal a latitude \theta praticamente não muda, logo
f\\ \text{permanece constante}.
Como estamos no hemisfério sul, \sin\theta<0 e portanto esse valor constante é negativo ( f<0). Em linguagem amigável: movendo-se para leste/oeste sem mudar de latitude, a vorticidade planetária f não varia.

Passo 3

Aplique explicitamente a conservação da vorticidade potencial. Seja um estado inicial (\zeta_1,f_1,H_1) e um estado final (\zeta_2,f_2,H_2). A conservação dá
\frac{\zeta_1+f_1}{H_1}=\frac{\zeta_2+f_2}{H_2}=K\quad(\text{o mesmo }K).
Como o movimento é zonal, f_2=f_1=f. Multiplicando, obtemos
\zeta_2+f = K H_2,\qquad \zeta_1+f = K H_1.
Eliminando K (dividindo ou reescrevendo), conseguimos uma expressão direta para \zeta_2:
\zeta_2 = \frac{H_2}{H_1}(\zeta_1+f) - f.

Passo 4

Escreva a variação de \zeta (diferença entre estado final e inicial) para ver o sinal:
\zeta_2-\zeta_1=\left(\frac{H_2}{H_1}-1\right)(\zeta_1+f).
Como H_2>H_1 (profundidade aumentando), temos \dfrac{H_2}{H_1}-1>0. Portanto o sinal de \zeta_2-\zeta_1 é o mesmo do fator \zeta_1+f. Ou seja:
  • Se \zeta_1+f>0 então \zeta_2>\zeta_1 (a vorticidade relativa aumenta).
  • Se \zeta_1+f<0 então \zeta_2<\zeta_1 (a vorticidade relativa diminui).

    Em palavras: como f é constante, toda a mudança necessária para manter (\zeta+f)/H constante recai em \zeta; o sentido da mudança depende do sinal inicial de \zeta+f.

Passo 5

Interpretação física e caso típico. No hemisfério sul f<0. Em muitos casos oceânicos a vorticidade relativa \zeta_1 é pequena comparada a |f|, de modo que \zeta_1+f\approx f<0. Nesse caso típico:
  • \zeta_1+f<0 implica \zeta_2-\zeta_1<0, ou seja \zeta fica mais negativa (diminui numericamente).

    Em termos simples: com H aumentando e f fixo e negativo, a coluna adquire uma alteração de vorticidade relativa no mesmo sinal de f (ou seja, torna-se mais negativa). Evito chamar explicitamente de “ciclônico/anticiclônico” para não confundir convenções; o importante é o sinal.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha \zeta_1=-0{,}2, f=-5 (valores arbitrários só para exemplificar) e H_2=2H_1 (duplica):
K=\frac{\zeta_1+f}{H_1}=\frac{-0{,}2-5}{H_1}=\frac{-5{,}2}{H_1}.
Então \zeta_2+f=K H_2=2(\zeta_1+f)=-10{,}4, logo
\zeta_2 = -10{,}4 - f = -10{,}4 -(-5) = -5{,}4.
Aqui \zeta passou de -0{,}2 para -5{,}4: diminuiu (ficou mais negativa), consistente com \zeta_1+f<0.

Resposta

\varsigma (isto é, \zeta): varia segundo \displaystyle \zeta_2=\frac{H_2}{H_1}(\zeta_1+f)-f. Como H aumentou, o sinal de \zeta_2-\zeta_1 segue o sinal de \zeta_1+f; no caso típico onde |\zeta_1|\ll|f| e f<0 (hemisfério sul), \zeta torna‑se mais negativa (diminui).
f: não varia (permanece constante) durante o deslocamento zonal.

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