O princípio da Conservação da Vorticidade Potencial (VP) é expresso matematicamente por:
Onde
e
.
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam
e
nos seguintes casos:
A coluna d’água se move zonalmente;
A conservação da VP engloba os efeitos da variação da profundidade, da latitude, e do cisalhamento das velocidades ao longo da trajetória de um fluido. Considere que uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca com H aumentando. Descreva como variam
A coluna d’água se move zonalmente;
Passo 1
O enunciado pede que descrevamos como variam
e
quando uma coluna d’água, no hemisfério sul, se desloca zonalmente com a profundidade
aumentando. Informações dadas e suposições que vou usar:
- A conservação da vorticidade potencial é
. - Aqui vou interpretar
como a vorticidade relativa (o enunciado original usou ). - A definição planetária é
. - A coluna está no hemisfério sul (logo
e ). - O deslocamento é zonal: isto significa que a latitude
praticamente não muda. - A situação considerada:
aumenta (isto é, a coluna se “estica” verticalmente).
Não resolvo nada ainda; apenas listei o que foi dado e o que precisamos descrever.
Passo 2
Entenda o que acontece com
quando o movimento é zonal. A fórmula é
onde
é a rotação da Terra (constante) e
é a latitude. Num deslocamento zonal a latitude
praticamente não muda, logo
Como estamos no hemisfério sul,
e portanto esse valor constante é negativo (
). Em linguagem amigável: movendo-se para leste/oeste sem mudar de latitude, a vorticidade planetária
não varia.
Passo 3
Aplique explicitamente a conservação da vorticidade potencial. Seja um estado inicial
e um estado final
. A conservação dá
Como o movimento é zonal,
. Multiplicando, obtemos
Eliminando
(dividindo ou reescrevendo), conseguimos uma expressão direta para
:
Passo 4
Escreva a variação de
(diferença entre estado final e inicial) para ver o sinal:
Como
(profundidade aumentando), temos
. Portanto o sinal de
é o mesmo do fator
. Ou seja:
- Se
então (a vorticidade relativa aumenta). - Se
então (a vorticidade relativa diminui).
Em palavras: comoé constante, toda a mudança necessária para manter constante recai em ; o sentido da mudança depende do sinal inicial de .
Passo 5
Interpretação física e caso típico. No hemisfério sul
. Em muitos casos oceânicos a vorticidade relativa
é pequena comparada a
, de modo que
. Nesse caso típico:
-
implica , ou seja fica mais negativa (diminui numericamente).
Em termos simples: comaumentando e fixo e negativo, a coluna adquire uma alteração de vorticidade relativa no mesmo sinal de (ou seja, torna-se mais negativa). Evito chamar explicitamente de “ciclônico/anticiclônico” para não confundir convenções; o importante é o sinal.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Suponha
,
(valores arbitrários só para exemplificar) e
(duplica):
Então
, logo
Aqui
passou de
para
: diminuiu (ficou mais negativa), consistente com
.