Considere y=f(x)=5 e^25-x^2, x <=-5. Marque a alternativa que corresponde à função inversa da f.
  1. f^-1(y)=raiz5 ln (y)+5, 0;
  2. f^-1(y)=-raiz25-ln (y5), 0.
  3. f^-1(y)=-raizln (y5)+5, y >= 5;
  4. f^-1(y)=raiz25-ln (y)5, 0;
  5. f^-1(y)=-raizln (y5)-25, y >= 5 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função com a condição . Nosso objetivo é encontrar a função inversa dessa função. Para isso, vamos precisar entender como calcular a função inversa, que basicamente troca e na equação e resolve para o outro. Vamos também precisar usar propriedades dos logaritmos e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar x = 5 e^25 - y^2 por e vice-versa na equação da função original. Isso significa que nossa equação fica:
Agora, queremos isolar para encontrar a função inversa.

Passo 3

Vamos começar isolando o termo exponencial. Dividindo ambos os lados por 5, temos:
x5 = e^25 - y^2
Para eliminar o ln(x5) = 25 - y^2 , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
y^2 = 25 - ln(x5)
Agora, vamos isolar y = -raiz25 - ln(x5) :
Por fim, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados. Lembrando que , o valor de será negativo:

Passo 4

Agora que isolamos f^-1(y) = -raiz25 - ln(y5) , podemos expressar a função inversa :

Passo 5

Vamos comparar essa expressão com as alternativas fornecidas:
  1. – Não corresponde.
  2. – Parece correta.
  3. – Não corresponde.
  4. – Não corresponde.
  5. – Não corresponde.

Resposta

A alternativa correta é a 2. .

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