Calcule a massa do cilindro x^2+y^2 <= 1 e 0 <= z <= 3, sabendo que a densidade no ponto (x, y, z) é o triplo da distância do ponto ao plano z=0.

Passo 1

Neste exercício temos um cilindro definido por x²+y²≤1 e 0≤z≤3, com densidade no ponto (x,y,z) igual a três vezes a distância ao plano z=0, ou seja, ρ(x,y,z)=3z. Vamos usar o conceito de massa como integral tripla da densidade sobre o volume. Para facilitar o cálculo, adotamos coordenadas cilíndricas, pois o sólido tem simetria em torno do eixo z. Fazemos x=r
costheta, y=r
sintheta, z=z e o elemento de volume fica dV=r
dr
dtheta
dz. A densidade em cilíndricas é ρ(r,θ,z)=3z.

Passo 2

Então, em coordenadas cilíndricas, a massa m é dada por
m=integral0^2piintegral0^1integral0^3(3z),r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z, tratando r e θ como constantes:
integral0^33z,r,dz=3rintegral0^3z,dz=3rcdotz^22|0^3=3rcdot92=272r

Passo 4

Em seguida, integramos em r:
integral0^1272r,dr=272cdotr^22|0^1=272cdot12=274

Passo 5

Por fim, integramos em θ:
integral0^2pi274,dtheta=274cdot2pi=27pi2

Resposta

m=27pi2

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