Calcule a massa do cilindro
e
, sabendo que a densidade no ponto
é o triplo da distância do ponto ao plano
.
Passo 1
Neste exercício temos um cilindro definido por x²+y²≤1 e 0≤z≤3, com densidade no ponto (x,y,z) igual a três vezes a distância ao plano z=0, ou seja, ρ(x,y,z)=3z. Vamos usar o conceito de massa como integral tripla da densidade sobre o volume. Para facilitar o cálculo, adotamos coordenadas cilíndricas, pois o sólido tem simetria em torno do eixo z. Fazemos x=r
costheta, y=r
sintheta, z=z e o elemento de volume fica dV=r
dr
dtheta
dz. A densidade em cilíndricas é ρ(r,θ,z)=3z.
costheta, y=r
sintheta, z=z e o elemento de volume fica dV=r
dr
dtheta
dz. A densidade em cilíndricas é ρ(r,θ,z)=3z.
Passo 2
Então, em coordenadas cilíndricas, a massa m é dada por
Passo 3
Primeiro integramos em z, tratando r e θ como constantes:
Passo 4
Em seguida, integramos em r:
Passo 5
Por fim, integramos em θ: