Mostre que a função
f(z)=log (z+4)z^2+i
é analítica em todos os pontos exceto nos pontos pm(1-i) / raiz2 e na porção x <=-4 do eixo real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=log(z+4)z^2+i
é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos onde o denominador anula-se ou onde a parte logarítmica deixa de ser analítica. Vamos usar teoria de funções complexas: singularidades de funções racionais e ramo principal do logaritmo.

Passo 2

Precisamos achar as raízes do denominador. Resolvendo
z^2+i=0Longrightarrow z^2=-i=e^-ipi/2,
de onde
z=e^-ipi/4=1-iraiz2 ou z=e^3ipi/4=-1-iraiz2
Portanto, são polos simples de f os pontos
z=pm(1-i)/raiz2.

Passo 3

Agora, analisamos a parte log(z+4). No ramo principal do logaritmo complexo adotamos o corte em win R:w<=0 para w=z+4. Logo, log(z+4) é analítica em
zin C:,z+4notin(-infty,0];=; Csetminusx+0i:x<=-4

Passo 4

Por fim, f(z) é o quociente de duas funções analíticas em seu domínio comum. Assim, f falha em ser analítica exatamente onde o denominador é zero (polos em pm(1-i)/raiz2) ou onde o numerador (o log) tem corte de ramo (reta real x<=-4).

Resposta

A função é analítica em todo o plano, exceto nos pontos z=pm(1-i)/raiz2 e na porção da reta real definida por x<=-4.

Exercícios relacionados