Mostre que a função
é analítica em todos os pontos exceto nos pontos
e na porção
do eixo real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é analítica em todo o plano complexo, exceto nos pontos onde o denominador anula-se ou onde a parte logarítmica deixa de ser analítica. Vamos usar teoria de funções complexas: singularidades de funções racionais e ramo principal do logaritmo.
Passo 2
Precisamos achar as raízes do denominador. Resolvendo
de onde
Portanto, são polos simples de
os pontos
.
Passo 3
Agora, analisamos a parte
. No ramo principal do logaritmo complexo adotamos o corte em
para
. Logo,
é analítica em
Passo 4
Por fim,
é o quociente de duas funções analíticas em seu domínio comum. Assim,
falha em ser analítica exatamente onde o denominador é zero (polos em
) ou onde o numerador (o log) tem corte de ramo (reta real
).
Resposta
A função é analítica em todo o plano, exceto nos pontos
e na porção da reta real definida por
.