Considere um aerofólio fino de corda c, cuja linha média é descrita pelo polinômio de terceiro grau
\eta_{c}(x)=-g c \frac{2 x}{c}\left(1-\frac{2 x^{2}}{c}\right)
onde g é uma constante arbitrária. Determine uma expressão para a distribuição de intensidade da lâmina de vórtice que representa essa linha média segundo a teoria do aerofólio fino quando o aerofólio está submetido a um escoamento de velocidade U_{\infty}.

Passo 1

O enunciado dá a linha média de um aerofólio fino de corda c sob escoamento de velocidade U_{\infty}, descrita por
\eta_{c}(x)=-g\,c\,\frac{2x}{c}\Bigl(1-\frac{2x^{2}}{c^{2}}\Bigr)\,,
e pede a intensidade da lâmina de vórtice \gamma(x) segundo a teoria do aerofólio fino.
Para isso usaremos a forma geral da teoria: escrevemos a função camber em termos do ângulo \theta, expandimos sua derivada em séries de cossenos e extraímos os coeficientes A_{0},A_{n}, de modo que
\gamma(\theta) =2U_{\infty}\Biggl[ A_{0}\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} +\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta} \Biggr],
onde a correspondência é
x=\frac{c}{2}(1-\cos\theta), \quad A_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{d\eta_{c}}{dx}\,d\theta, \quad A_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{d\eta_{c}}{dx}\cos(n\theta)\,d\theta.

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada em x. Como
\eta_{c}(x)=-2g\,x\Bigl(1-\tfrac{2x^{2}}{c^{2}}\Bigr) =-2g\,x+\frac{4g}{c^{2}}x^{3},
temos
\frac{d\eta_{c}}{dx} =-2g + \frac{12g}{c^{2}}x^{2}.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
x=\frac{c}{2}(1-\cos\theta),
então
\frac{x^{2}}{c^{2}} =\frac{(1-\cos\theta)^{2}}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\eta_{c}}{dx} =-2g + 12g\frac{(1-\cos\theta)^{2}}{4} =g -6g\cos\theta +3g\cos^{2}\theta.
Usando \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}, obtemos
\frac{d\eta_{c}}{dx} =2{,}5\,g \;-\;6\,g\cos\theta\;+\;1{,}5\,g\cos2\theta.

Passo 4

Agora extraímos os coeficientes:
  1. A_{0}=\frac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2{,}5g-6g\cos\theta+1{,}5g\cos2\theta)\,d\theta =\frac{2{,}5g\,\pi}{\pi}=2{,}5\,g.
  2. A_{1}=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2{,}5g-6g\cos\theta+1{,}5g\cos2\theta)\cos\theta\,d\theta =\frac{2}{\pi}(-3g\pi)=-6g.
  3. A_{2}=\frac{2}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{\pi}(2{,}5g-6g\cos\theta+1{,}5g\cos2\theta)\cos2\theta\,d\theta =\frac{2}{\pi}(0{,}75g\pi)=1{,}5g.
    E para n\ge3, A_{n}=0.

Passo 5

Substituindo em
\gamma(\theta) =2U_{\infty}\Bigl[ A_{0}\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} +A_{1}\frac{\sin\theta}{\sin\theta} +A_{2}\frac{\sin2\theta}{\sin\theta} \Bigr],
ficamos com
\gamma(\theta) =2U_{\infty}\Bigl[ 2{,}5g\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} -6g +1{,}5g\frac{2\cos\theta}{1} \Bigr] =2g\,U_{\infty}\Bigl[ 2{,}5\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}-6+3\cos\theta \Bigr].

Passo 6

Se quisermos a forma em x, lembramos \cos\theta=1-2x/c e \sin\theta=2\sqrt{\tfrac{x}{c}\bigl(1-\tfrac{x}{c}\bigr)}.
Isso leva a
\gamma(x) =g\,U_{\infty}\Bigl[ \frac{5\,(1-x/c)}{\sqrt{\tfrac{x}{c}\bigl(1-\tfrac{x}{c}\bigr)}} -6-12\,\frac{x}{c} \Bigr].

Resposta

\boxed{ \gamma(x) =g\,U_{\infty}\Biggl[ \frac{5\,\bigl(1-\tfrac{x}{c}\bigr)}{\sqrt{\tfrac{x}{c}\bigl(1-\tfrac{x}{c}\bigr)}} -6 -12\,\frac{x}{c} \Biggr] },
para 0<x<c.

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