Questão 11. Considere um aerofólio fino cuja linha média é descrita por \eta_{c}(x)=k c x(x- 1) (x-2). Mostre que se o camber máximo (máxima ordenada da linha média) é 2 \% da corda, k=0,052. Determine uma expressão para a distribuição de intensidade da lâmina de vórtice que representa essa linha média segundo a teoria do aerofólio fino quando o aerofólio está submetido a um escoamento de velocidade U_{\infty}.

Passo 1

O enunciado dá a linha média de um aerofólio fino de corda c por
\eta_{c}(x)=k\,c\,x(x-1)(x-2)
e pede duas coisas:
  1. Encontrar k de modo que o camber máximo seja 2\% da corda, ou seja
\max_{0\le x\le c}\eta_{c}(x)=0{,}02\,c.
  1. Determinar a distribuição de intensidade da lâmina de vórtice \gamma(\theta) segundo a teoria do aerofólio fino para escoamento de velocidade U_{\infty}.
    Para isso vamos achar primeiro o ponto de camber máximo, depois derivar \eta_{c}(x), fazer a mudança x/c=(1-\cos\theta)/2, obter o coeficientes de Fourier A_n e montar \gamma(\theta).

Passo 2

Derivando \eta_{c}(x) em relação a x (antes de trocar unidades), temos
\frac{d\eta_{c}}{dx} = k\,c\,(3x^2-6x+2).
O camber máximo ocorre onde d\eta_{c}/dx=0, i.e.
3x^2 -6x +2 =0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{6\pm\sqrt{36-24}}{6} =1\pm\frac{\sqrt3}{3}.
Na faixa 0\le x\le c (isto é, 0\le x/c\le1) só cabe
x^* = 1 - \frac{\sqrt3}{3}\approx0{,}423\,.
Então
\eta_{c}(x^*) = k\,c\,x^*(x^*-1)(x^*-2) = k\,c\Bigl[0{,}423\cdot(-0{,}577)\cdot(-1{,}577)\Bigr] \approx 0{,}385\,k\,c.
Impondo \eta_{c}(x^*)=0{,}02\,c resulta
0{,}385\,k\,c =0{,}02\,c \quad\Rightarrow\quad k = \frac{0{,}02}{0{,}385}\approx0{,}052.

Passo 3

Para aplicar a teoria de aerofólio fino, usamos a não-dimensão
\mu=\frac{x}{c}=\frac{1-\cos\theta}{2},
de modo que
\frac{d\eta_{c}}{dx} = k\,\bigl(3\mu^2 -6\mu+2\bigr).
Substituindo \mu=(1-\cos\theta)/2 e expandindo, obtém-se
\frac{d\eta_{c}}{dx} = k\Bigl[-\tfrac14 + \tfrac32\cos\theta + \tfrac34\cos^2\theta\Bigr].

Passo 4

Os coeficientes de Fourier na expansão da lâmina de vórtice são
A_0 = -\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{d\eta_c}{dx}\,d\theta, \quad A_n = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\frac{d\eta_c}{dx}\cos(n\theta)\,d\theta,
para n\ge1. Calculando-os:
A_0 = -\frac{k}{8},\quad A_1 = \frac{3k}{2},\quad A_2 = \frac{3k}{8},\quad A_{n\ge3}=0.

Passo 5

Na formulação usual da teoria de aerofólio fino, a intensidade da lâmina de vórtice é
\gamma(\theta) =2\,U_{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}A_n\sin\bigl((n+1)\theta\bigr).
Com os coeficientes achados e k=0{,}052, fica
\gamma(\theta) =2\,U_{\infty}\,k\bigl[-\tfrac18\sin\theta +\tfrac32\sin2\theta +\tfrac38\sin3\theta\bigr] \approx 0{,}104\,U_{\infty}\bigl[-0{,}125\,\sin\theta +1{,}5\,\sin2\theta +0{,}375\,\sin3\theta\bigr].

Resposta

k \approx 0,052
\gamma(\theta) =2\,U_{\infty}\,k\Bigl[-\tfrac18\sin\theta +\tfrac32\sin2\theta +\tfrac38\sin3\theta\Bigr],
com k=0{,}052.

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